)了解了基本的判斷方法後，你是不是有個疑問：「我們能判斷素數的個數嗎？」總所周知，素數的個數是無限的，且沒有固定的公式…但如果我們只要判斷[a, b]區間(a, b範圍為1到1億)內的素數的個數呢?
首先，我們可以想到，如果要求的素數個數區間[a, b]，當區間長度比較小(10^6內)，我們可以用篩法求出區間內的所有的素數，然後統計個數即可。
但如果區間長度很長或者要求詢問的次數很多，那該怎麼辦呢? [a,b]區間內素數的個數 = [1, b]的個數 - [1, a - 1]的個數，所以我們這裡只討論求[1, a]區間內的素數。以下提供個人的兩種方法，時限都是1s內產生結果。如果哪位大牛有更好的方法，大家一起交流下～～
1. 我們可以擴充套件上面的思想，當區間小的時候，我們可以很好的求出素數的個數。那我們可以把大的區間劃分成一塊塊小的區間，比如把乙個長度為1億的區間劃分1,000個長度為100,000的區間。我們可以利用miller-rabin事先把[1, 100000], [100001, 200000], [200001, 300000]的區間內的素數個數統計好，然後存在乙個陣列中。
完成這步後，思路就比較清晰：對於區間[1, a]，可以拆分為乙個個長度為100000的小區間([1, 100000], [100001, 200000]…)，加上尾部的小區間[c * 100000, a]。前面的小區間只要陣列的值相加即可，而後面的小區間[c * 100000, a]，長度在100000內，直接用區間的篩法求出素數，統計個數即可。
該方法速度很快，主要時間都花在陣列打表上，然後直接存在陣列裡，求1到1億的素數個數時間為0.06s。
評價：優點是方法速度快，且直接套模板即可。缺點是需要事先打表，且**長度很長(因為要給長度為1000的陣列賦初值)。
2. 第二種方法涉及到容斥原理(inclusion-exclusion principle)，容斥原理參見(
)。當乙個數是合數，那麼它可以分解成幾個素數的乘積。如30 = 2 * 3 * 5。我們可以統計合數的個數，然後拿總數減它就是素數的個數(注意還要去掉1的)。我們可以利用類似篩法的原理，去除2的倍數(它們肯定是合數，不包括2)，然後去除3的倍數，5的倍數，知道去除到sqrt(a)的倍數為止。但你會發現6 = 2 * 3，被去除了2次，而這正是容斥原理解決的問題。合數的個數 = 1個素數篩完的合數個數 – 2個素數篩完的合數個數 + 3個素數篩完的合數個數...
而容斥原理的累加過程，即可用dfs來解決。你可能會認為sqrt(1億) = 10000，其中素數有很多，dfs要跑很長時間。但我們只需要加一些簡單的優化即可很大程度地提高程式的效率。
首先，我們寫篩法出1到sqrt(a)的素數表，然後從小到大dfs。
如果當前的乘積 > a，那麼直接退到上一層。
如果該層的所有乘積不能使總數發生變化(即所有乘積都 > a)，那麼直接退回第一層。(因為是從小到大，該層下面的乘積必將 > a)
如果是第一層的所有乘積不能使總數發生變化，那麼程式執行結束。(原理同上)
經過這樣優化後，求1到1億的時間為0.4秒，1到10億的時間為3.5s。
核心**：
void solve(int index, int lcm, int k)
for (i = index; i < total - k + 1; i++)
if (t_temp == temp) return ; // 剪枝：同樣道理，說明以後的k - 1個不能組成我們想要的值}}
main()中：
for (k = 1; k <= total; k++)
評價：該方法巧妙地使用了容斥原理來計數，且dfs應用于容斥原理的剪枝十分重要。
提到容斥原理，推薦一道前不久做的題目srm 453.5 div 1 1000(
)，兩題的容斥原理思想差不多，但剪枝方法不同，而且兩題的方法交換都會產生超時...(有興趣一起交流下～～)
1億以內素數的個數 數論基礎素數篩
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