乙個
n 階矩陣
a 可以看成是
n 個
n 維列向量x1
,x2,
...,
xn的集合 a
=(x1
,x2,
…,xn
) 從代數的角度來看，這構成了乙個矩陣；從幾何的角度來看，這
n 個向量可以建立乙個平行
n 維體。比如：平行四邊形就是「平行二維體」，平行六面體就是「平行三維體」，高階的只需要相應模擬，不需要真正想象出高維空間的立體是什麼樣。
讓我們考慮矩陣
a 的行列式
deta
，我們知道
deta
有如下性質：
行列式性質1、行列式是x1
,x2,
…,xn
的乙個函式，即
deta=f
(x1,
x2,…
,xn)
；2、（線性1）行列式的某一列乘上常數
α ，則行列式的值也乘上
α ，即f(
x1,…
,αxi
,…,x
n)=α
f(x1
,…,x
i,…,
xn) ；
3、（線性2）將行列式的某一列寫成兩列之和，那麼行列式也相應地成為兩個行列式之和，即f(
x1,…
,αxi
,…,x
n)=f
(x1,
…,yi
,…,x
n)+f
(x1,
…,zi
,…,x
n)，其中xi
=yi+
zi，性質二和三表明
f 是關於每個向量的線性函式；
4、（反對稱）只要有兩列相同，那麼行列式值為0，即f(
…,x,
…,x,
…)=0
；5、（歸一）單位矩陣的行列式為1，即f(
i)=1
。
乙個驚人的事實是，行列式可以由上面五條性質唯一確定！即由上面五條性質就可以唯一確定乙個函式f
，這個函式就是矩陣的行列式。
從幾何的角度來看，用這
n 個向量，可以生成
n 維空間的乙個平行
n 維體。讓我們來考慮這個平行
n 維體的體積
v 。只在第一卦限討論，那麼體積具有下面的性質（只在第一卦限討論，限保證了所有的向量和因子都是正數。）
體積性質比較行列式和體積的性質，可以發現它們是完全相同的，所以在第一卦限中的平行1、體積是這
n 個向量的乙個函式v(
x1,x
2,…,
xn) ；
2、將某個向量乘以
α ，也就是把它的長度變為來說的
α 倍，那麼體積也增大
α 倍，即v(
x1,…
,αxi
,…,x
n)=α
v(x1
,…,x
i,…,
xn) ；
3、體積是可加的，即v(
x1,…
,αxi
,…,x
n)=v
(x1,
…,yi
,…,x
n)+v
(x1,
…,zi
,…,x
n)，其中xi
=yi+
zi；這點需要稍加驗證，但它的確是正確的。
4、只要有兩個向量重合，那麼體積自然為0，即v(
…,x,
…,x,
…)=0
；比如在三維空間中的乙個立體，有兩條邊重合，那麼說明這個立體已經壓縮為乙個面了，面的體積自然為0。
5、由單位矩陣
i 構成的平行
n 維體是乙個
n 維的單位立方體，它的體積自然是1，即v(
i)=1
。
n 維體的體積就是對應矩陣的行列式！如果將其放到所有卦限中，那只不過是體積概念的推廣（允許為負數）。因此，我們不妨這樣定義：體積就是行列式。
事實上，負體積的引入具有重要意義，它是現在的「外微分」的基礎之一。外微分乙個典型的用處是它可以把高斯積分公式、斯托克斯積分公式等統一起來。它使微分的理論和形式更完整統一。
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