第二十四課時：馬爾科夫矩陣、傅利葉級數
本講講解特徵值的應用，馬爾科夫矩陣理論，傅利葉級數（它是投影矩陣的巧妙應用）
馬爾科夫矩陣滿足
兩條性質：1）所有元素大於等於0； 2）所有矩陣的列相加等於1。（這個性質保證了特徵值為1,為什麼？）
馬爾科夫矩陣的冪都是馬爾科夫矩陣。馬爾科夫矩陣和概率思想有關聯，它有如上性質都是與概率有關的。
考慮馬爾科夫矩陣的特徵值和特徵向量。它的穩態，穩態是什麼？特徵值滿足什麼條件？ 實際上，
穩態問題就是那個特徵值的特徵向量問題。
馬爾科夫矩陣的特徵值：
1）λ=1是它的乙個特徵值，它對應的特徵向量x1的所有元素是非負值；
2）所有其他的特徵值 |
λi|<1；
那麼，如下冪的穩態即c1x1，穩態是由特徵值為1的特徵向量決定的（因為從uk展開公式看穩態就是由特徵向量決定的）。
為什麼說矩陣的列相加等於1保證了有乙個特徵值為1？
假設已經有乙個特徵值為1，那麼a-1i，馬爾科夫矩陣平移乙個單位矩陣，如果證明a-1i是奇異的，那麼說明1確實是它的特徵值。a-1i的矩陣每列元素相加為0，說明行向量線性組合能得到0，說明線性相關，奇異矩陣。向量(1 1 1)在其左零空間中，特徵值為1的特徵向量在其零空間（因為ax1=x1，(a-i)x1=0）。
a和 a
t的特徵值有什麼關係？他們是相同的。因為矩陣
at 與a的行列式相等可以得證。
馬爾科夫矩陣應用
a為馬爾科夫矩陣，始終不變，表示兩個州的人口遷移情況。總人數保持不變。時間t從k到k+1中，0.9的加州人留下+0.2的麻省遷移進來=現在的加州人。0.1的加州人遷移出去+0.8的麻省人留下=現在的麻省人。
考慮穩態。假設初始狀態t=0時的人數，加州0個人，麻省1000個人。k步以後的人口變化是怎樣的？解答這個問題，我們需要考慮a的特徵值和特徵向量。求解得到：
λ1=1，x1=(2 1)；
λ2=0.7，x2=(-1 1)。那麼
求解得到c1=1000/3，c2=2000/3。
傅利葉級數
投影問題引出傅利葉級數
帶有n個標準正交基的投影問題qn×n，基向量q1,q2...qn，那麼空間中任意向量v都可由這個標準正交基類線性組合得到：
v=x1q1+x2q2+...+xnqn，現在要知道x1,或者x2是多少，可以用展開式來表達，將向量展開到標準正交基上去，這是在做投影，由於這組基是標準正交基，所以x1,x2..的求解有計算公式。求x1的時候將q1與式中任一一項做內積就能得到x1了。
這樣v的展開式中每個基向量的係數就能求得了。也可以用矩陣形式來表示：
也就是qx=v，x=q
-1v=qt
v傅利葉級數：
已知f(x)=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+...，無窮維，但關鍵性質還是正交，正交性對sin和cos仍成立，這使得傅利葉級數有意義，這就是傅利葉級數。
傅利葉級數比較上面的向量空間的等式，是函式空間f(x)替換向量空間v，正交函式替換正交向量q1,q2...
這裡函式正交的意義在於：兩個函式的內積等於0。（用積分代替求和）
現在有了函式空間的無窮正交基，現在需要做的就是把函式展開到基上，需要求出係數a是多少。同向量空間的做法，等式左右兩邊同時乘以正交基分量，就可得到傅利葉級數係數公式。
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