有乙個木桶，裡面有m個白球，小明每分鐘從桶中隨機取出乙個球塗成紅色（無論白或紅都塗紅）再放回，問小明將桶中球全部塗紅的期望時間是多少？
數學期望類的題目，主要是要理解什麼是數學期望，數學期望是幹什麼用的，關於這些問題的解答，大家可以自己去理解，思考或者翻書，我要講的內容是如何利用這些數學期望的特點。
數學期望的遞迴特性：
飛行棋大家都玩過吧，應該知道每次拋到6，就有一架飛機可以出門了，那麼問你一架飛機可以出門的時候，拋篩子次數的數學期望是多少？
你估計會毫不猶豫的說是6（p=1/6，e=1/p=6），但是你思考過深一層次的原因嗎？
好吧，我來告訴你，我們記拋6的期望次數是e，如果第一次拋的是6，那麼就是1次，概率是1/6;如果第一次不是6呢，那麼次數是1+e，概率為5/6;
那麼e = 1 * (1/6) + (1+e) * (5/6),你可以很容易的解出 e = 6
上面加粗的紅色字型用的就是類似乙個遞迴的概念，希望你能理解吧，不行的話，那只能自己去努力理解了，呵呵。
現在我們開始解答上面的問題：
令p[i]代表m個球中已經有i個球是紅色後，還需要的時間期望，去將所有球都變成紅色。
so，給出遞迴式：p[i]= (i/m) * p[i] + (1-i/m)* p[i+1] + 1
我相信大家都能理解這個公式的含義，不過還是解釋一下，在p[i]的情況下，我們選一次球，如果是紅球，那麼概率是i/m，子問題還是p[i]，如果是白球，那麼概率是1-i/m，子問題是p[i+1]，注意你當前的選球操作要計算在內，即一次
化簡如上遞迴式得：p[i] = p[i+1] + m/(m-i)，顯然p[m] = 0;
所以：p[m-1] = p[m] + m/1
p[m-2] = p[m-1] + m/2
…p[0] = p[1] + m/m
綜上：p[0] = 0 + m/1 + m/2 + … + m/m
，至此問題已經解決，不過我希望大家學到的不是這個答案，而是分析這個題目的過程
0 + m/1 + m/2 + m/3 + … + m/m
括號裡的式子在m比較大的時候約等於lnm，所以整個期望值大約是mlnm
(因為lnx = ∫(x,1) 1/tdt，1 + 1/2 + ... + 1/m >= ∫(2,1) 1/tdt + ∫(3,2) 1/tdt + ... + ∫(m+1,m) 1/tdt = ∫(m+1,1) 1/tdt = ln(m+1), 1 + 1/2 + ... + 1/m <= 1 + ∫(2,1) 1/tdt + ∫(3,2) 1/tdt + ... + ∫(m,m-1) 1/tdt = ln(m) + 1，因此有
ln(m+1) <= 1 + 1/2 + ... + 1/m <= ln(m)+1，又有ln(m+1) >= ln(m)，所以…… )
扇形塗色問題
題目描述 將乙個圓形等分成n個小扇形,將這些扇形標記為1,2,3,n。現在使用m種顏色對每個扇形進行塗色，每個扇形塗一種顏色，且相鄰的扇形顏色不同。求 有多少種塗色方法。分析設a n 為符合要求的第n個扇形的塗色方法。對扇形1有m種塗色方法，扇形2有m 1種塗色方法，扇形3也有m 1種塗色方法，扇形...
扇形塗色問題
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矩形塗色問題
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