一道概率問題

題目：有一輛汽車有n個座位，編號為1~n，有n個人買票拿號上車，正常人按照自己的座位號對號入座，但是有乙個精神病患者，在空座位中隨機選擇乙個空著的座位就坐，正常人的座位如果被佔，也將隨機選擇乙個空著就坐，假如第乙個上車的是精神病患者，其他人都是正常人，問最後乙個人能坐到自己的座位的概率是多少？

對於概率統計的問題，在面試的時候，剛一看題，有點懵，習慣性的瞎猜測1/n，1/2之類的答案。但是冷靜下來分析一下，其實沒有那麼複雜。

首先對於概率問題，我們通常是要看樣本空間，但是對這個問題，貌似樣本空間很複雜，我們關心的是最後乙個人，也就是第n個人（後面使用#n表示第n個人）是否座到自己的座位的問題。

猜測1/2的答案有一點是出自，樣本空間只有兩個事件，事件是對的，但是每個事件出現的概率是一樣的嗎? 這個時候，又糾結了，還是猜，再猜就是看#n-1是否座了#n的位置，這樣下去，還有#n-2,...,一直到#1，即精神病人是否占用了#n的位置(後面用%n表示，第n個座位)。

雖然這樣猜無法得到答案，但是卻給出了一點思路的提示，既然n是很大，又那麼複雜，我們何不看n=2，3，4這幾個值，分析一下#n位置被佔可能性能？

對於n=2，只有兩個座位，兩個人，#1是精神病人，那麼#1佔據%2的概率顯然是1/2，記為p(2)=1/2

對於n=3，情況稍微要複雜一些，首先看#1有3個座位可以選擇

1）#1佔據%1，概率是1/3，那麼後面誰的座位都不會被占用，按部就班，自己座自己的位置, 可以看成是%n被佔的概率為0；

2）#1佔據%3，概率是1/3，那麼#2上車之後，必然座自己的位置，這是時候，#3一定座不到自己的位置，因此%n被佔的概率是1/3；

3）#1佔據%2，概率是1/3，那麼#2上車之後，由於自己的位置被佔了，所以，ta也是在剩下的座位中隨機挑選，這個時候可以把ta看成是被傳染的精神病人，ta選擇%3的概率是1/2（只有2個座位供選擇了），因此這種情況下，%n被佔的概率是 (1/3)*(1/2) = 1/6

綜合三種情況看，%3被佔的概率p(3)= 1/3 + 1/6 = 1/2

對於n=4，情況更複雜一些了，但是要由耐心，已經有前面的分析了，心裡開始竊喜，難道結果真的是1/2，我們先分析完n=4再yy吧。

類似n=3的分析方法

1）#1佔據%1，概率是1/4，%n不會被佔，因此概率為0;

2）#1佔據%4，概率是1/4，#2和#3很高興，自己座自己的位置，讓#4痛苦吧，因此%n 被佔的概率是1/4;

3）#1佔據%3，概率是1/4，這是可以將#3看成被傳染了的精神病人，為什麼要這麼說，就是為了分析簡單，#1佔據%3，沒有#2什麼事，剩下就看#3和#4，由於#3也成為精神病人，ta也是隨機選擇座位，剩下的不就是乙個n=2的問題嗎？的確就是啊，那麼這種情況下，%n被佔的概率是：p(2) * 1/4;

4）#1佔據%2，概率是1/4，根據上面第三種情況看，就相當於#2是精神病人，剩下的問題就成了n=3 版本的精神病人搶座位了，哈哈，那麼%n被佔的概率是：p(3) * 1/4

綜合四種情況看，%4被佔的概率p(4)= 1/4 + 1 /4 * p(2) + 1/4 *p(3),等於多少，這個時候，如果你還關心它的值等於多少，那就顯得太心急了，這個時候，最應該關心的是是否可以推導出p(5),p(6),...,p(n)

很顯然是可以的。

n=k,類似的分析一下

1）#1佔據%1，概率是1/k，%n不會被占用，因此概率為0；

2）#1佔據%k，概率是1/k，%n被佔的概率是 1/k；

3）#1佔據%k-1，概率是1/k，這是#k-1成為精神病人，問題也就變成了n=2子問題了，所以概率是 1/k * p(2);

4）#1佔據%k-2，概率是1/k，這是#k-2成為精神病人，問題變成了n=3的子問題，所以概率是1/k * p(3);

...k）#1佔據%2，概率是1/k，這是#2成為精神病人，問題變成了n=k-1的子問題，所以概率是1/k *p(k-1);

綜合多種情況看p(k) = 1/k * (1 + p(2) + p(3) + ... + p(k-2) + p(k-1));

到這裡，我們才恍然大悟，這就是歸納法嘛，就是歸納法，可以用歸納法證明這個公式的成立。

剩下的問題就好解決了，計算p(k)是多少，這個就比較容易了，結果就是1/2。

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