@(概率論)
有時候給定的是乙個與常用的概率表達形式不同的不等式需要你判定，這個時候，創造性的使用放縮將是很好的方法。但是，如何讓兩個看似無關的表示式有聯絡，除了特別難的需要拍腦袋外，大部分都是有跡可循，且是被暗示的。
比如：設x是連續型變數，方差存在，則對任意的常數c和
ϵ>
0 ,必有p(
|x−c
|≥ϵ)
≤e|x
−c|ϵ
分析：初看這種形式，心裡一定很莫名其妙，這兩個有什麼關係？如果對期望的定義有很深刻的認識，ex
=∫+∞
−∞xf
(x)d
x ,對於e(
g(x)
)=∫+
∞−∞g
(x)f
(x)d
x 所以，e|
x−c|
=∫+∞
−∞|x
−c|f
(x)d
x $
我們就有了嘗試的方向。左半部的p(
|x−c
|≥ϵ)
天然的和積分有關係，因此我們可以將其表達為：p(
|x−c
|≥ϵ)
=∫|x
−c|≥
ϵf(x
)dx
所以，比較的中轉站是在積分這裡。也即，放縮也在這個地方進行。
兩個地方不一樣，積分上下限與被積函式的一小部分。這就是我們考慮放縮的地方。
這裡的提示很明確，就是|x
−c|≥
ϵ 這個表示的範圍是有限範圍，一定不大於(−
∞,+∞
) ,且|x
−c|ϵ
≥1
明確這兩點，p(
|x−c
|≥ϵ)
=∫|x
−c|≥
ϵf(x
)dx≤
∫+∞−
∞f(x
)dx≤
∫+∞−
∞|x−
c|ϵf
(x)d
x≤e|
x−c|
ϵ 這便是此類題目的解法，需要從細節入手，找到可以比較的相同形式，放縮可解。
比如這樣一道變題：
設x是隨機變數，e|分析：證明過程一模一樣。關注點都是兩個方面：|xx|r(
r>0)
存在，試證明，對任意的
ϵ>
0 有：p(
|x|≥
ϵ)≤e
|x|r
ϵr
|ϵ≥1
→|x|
rϵr≥
1 |x
|≥ϵ 確認的範圍小於(−
∞,+∞
) 所以可以直接放縮：p(
|x|≥
ϵ)=∫
|x|≥
ϵf(x
)dx≤
∫+∞−
∞f(x
)dx≤
∫+∞−
∞|x|
rϵrf
(x)d
x=1ϵ
r∫+∞
−∞|x
|rf(
x)dx
=e|x
|rϵr
於是問題得證。
有乙個小點，假設r=
0.00000000000001
,1.00001
r>
1 .
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