這個不等式在大學數學的主幹課程中曾以不同的形式出現，這裡從線性代數向量的角度出發以乙個統一的思路來整合理解這幾個不同的表現形式
設a=(x1,x2...xn)，b=(y1,y2...yn)是兩個向量，兩者的內積a·b=|a|·|b|·cos(alpha)，其中alpha是兩者的夾角。由絕對值的性質和三角函式界值可以有如下推導
|a·b| = | |a|·|b|·cos(alpha) | = |a|·|b|·|cos(alpha)| <= |a|·|b|-----------------------------（1）
等號成立時，alpha為0或者180度，也就是a、b兩向量共線。
1，由（1）式可以衍生出柯西許瓦茲不等式的兩種形式
|x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn| <= sqrt(x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn) * sqrt(y1*y1 + y2*y2 + ... + yn*yn)-------------------------------（2）
或者(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn)^2 <= (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn)^2 * (y1*y1 + y2*y2 + ... + yn*yn)^2-------------------------------（3）
2，將（2）、（3）擴充套件到連續空間的情況得到柯西許瓦茲不等式的又兩種形式
|integeral(f(x)*g(x))| <= sqrt(integeral(f(x)*f(x)))*sqrt(integeral(g(x)*g(x)))------------（4）
[integeral(f(x)*g(x))]^2 <= integeral(f(x)*f(x)) * integeral(g(x) * g(x))-------------------（5）
參考
二重積分的柯西施瓦茨不等式 柯西不等式的證明
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