已知
\(e^x-(a+2)x \geqslant b-2\)對任意\(x \in r\)恆成立，則\(\dfrac\)的最大值為_______.
解析：
記$f(x)=e^x-(a+2)x $，則
\[f'(x)=e^x-(a+2)
\]由於\(e^x-(a+2)x \geqslant b-2\)對任意\(x \in r\)恆成立，則函式\(f(x)\)一定有下界，從而\(a+2>0\).
此時，\(f(x)\)在\((-\infty,\ln (a+2))\)上單調遞減，在\((\ln (a+2),+\infty)\)上單調遞增.
因為\[f(\ln (a+2))=a+2-(a+2) \ln (a+2)
\]所以
\[a+2-(a+2) \ln (a+2) \geqslant b-2
\]於是
\[\dfrac \leqslant \dfrac=1-\ln(a+2)-\dfrac
\]記\(g(x)=1-\ln x -\dfrac\)，
因為\[g'(x)=-\dfrac+\dfrac=\dfrac
\]所以\(g(x)\)在\((0,3)\)上單調遞增，在\((3,+\infty)\)上單調遞減，從而
\[g(x) \leqslant g(3)=-\ln 3 .
\]於是
\[\dfrac \leqslant -\ln 3
\]而且，此時\(a=1,b=5-3\ln 3\).
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