基於matlab求解初等幾何問題
lyqmath
在工程應用、科學計算等領域，計算兩條直線的交點是乙個較為基礎的問題。一般的應該考慮到直線方程的寫法和求解交點的方式。這裡給出乙個具體的處理方式，其基本思想是：首先基於給定的節點定義出直線一般方程，然後求解方程組得到直線方程引數，最後根據得到的兩條直線來求解出交點。因此，問題的輸入為四個已知節點，輸出為由已定節點定義的直線的交點。
已知兩條直線的節點資訊，要求計算出直線的方程與兩直線的交點。採用直線的一般方程形式：
y = ax + by + c
，這裡的a、
b、c就是待求的直線方程引數。
符號變數
%
定義節點資訊
syms
x1y1
x2y2
x3y3
x4y4
%
定義引數資訊
syms ab
c%
定義變數
syms
xy
%%
計算a1，b1，a2，b2
%
直線方程——節點1
eq1 = a*x1 + b*y1 + c;
%
直線方程——節點2
eq2 = a*x2 + b*y2 + c;
%
求解引數
sov1 = solve(eq1, eq2, a, b);
%
直線方程——節點3
eq3 = a*x3 + b*y3 + c;
%
直線方程——節點4
eq4 = a*x4 + b*y4 + c;
%
求解引數
sov2 = solve(eq3, eq4, a, b);
%
求解結果——直線1
a1 = simplify(sov1.a / c);
b1 = simplify(sov1.b / c);
%
求解結果——直線2
a2 = simplify(sov2.a / c);
b2 = simplify(sov2.b / c);
%
求解結果：
% a1 = (y1 - y2)/(x1*y2 - x2*y1);
% b1 = (-x1 + x2)/(x1*y2 - x2*y1);
% a2 = (y3 - y4)/(x3*y4 - x4*y3);
% b2 = (-x3 + x4)/(x3*y4 - x4*y3);
%%
求交點%
直線方程1
eq1 = a1*x + b1*y + 1;
%
直線方程2
eq2 = a2*x + b2*y + 1;
%
求解方程組
sov = solve(eq1, eq2, x, y);
%
顯示求解結果
pretty(eq1)
pretty(eq2)
pretty(sov.x)
pretty(sov.y)
因此，根據輸入的節點資訊，可以得到兩條直線方程與直線的交點公式。注意到
matlab
做符號計算可能耗時較長，這裡根據已有結果編寫計算函式如下。
% 計算直線交點，直線為結構體，內容為兩個節點資訊
p1 = line1.point1; p2 = line1.point2;
% 第1條邊的兩點
p3 = line2.point1; p4 = line2.point2;
% 第2條邊的兩點
x1 = p1(1); y1 = p1(2);
x2 = p2(1); y2 = p2(2);
x3 = p3(1); y3 = p3(2);
x4 = p4(1); y4 = p4(2);
% 計算交點
px = (x1*x3*y2 - x2*x3*y1 - x1*x4*y2 + x2*x4*y1 - x1*x3*y4 + x1*x4*y3 + x2*x3*y4 - x2*x4*y3 )/
...(x1*y3 - x3*y1 - x1*y4 - x2*y3 + x3*y2 + x4*y1 + x2*y4 - x4*y2);
py =(x1*y2*y3 - x2*y1*y3 - x1*y2*y4 + x2*y1*y4 - x3*y1*y4 + x4*y1*y3 + x3*y2*y4 - x4*y2*y3 )/
...(x1*y3 - x3*y1 - x1*y4 - x2*y3 + x3*y2 + x4*y1 + x2*y4 - x4*y2);
根據給定的節點，計算夾角資訊，示意圖如下。已知
x1(x1, y1)
、x2(x2, y2)
、x3(x3, y3)
，計算直線
x2x1
與x2x3
的夾角資訊。
根據向量內積，得到計算公式為：
theta1 = acosd(dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])/(norm([x1-x2,y1-y2])*norm([x3-x2,y3-y2])));
其中，dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])
為計算內積，norm([x1-x2,y1-y2])、norm([x3-x2,y3-y2])
為計算向量長度，acosd為計算以度為單位的夾角資訊。
常見的，給定三個節點，要求計算三角形資訊。可以根據本文方法來計算三角形的直線方程與夾角資訊。
基於matlab
求解初等幾何問題，可應用到不同領域作為前期或者後期處理。比如數字影象處理的直線性質分析等。往往直線的夾角資訊等都可以對問題的解決有重要意義。
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