歸併排序(merge sort)是利用"歸併"技術來進行排序。歸併是指將若干個已排序的子檔案合併成乙個有序的檔案。
兩路歸併演算法
1、演算法基本思路
設兩個有序的子檔案(相當於輸入堆)放在同一向量中相鄰的位置上：r[low..m]，r[m+1..high]，先將它們合併到乙個區域性的暫存向量r1(相當於輸出堆)中，待合併完成後將r1複製回r[low..high]中。
（1）合併過程
合併過程中，設定i，j和p三個指標，其初值分別指向這三個記錄區的起始位置。合併時依次比較r[i]和r[j]的關鍵字，取關鍵字較小的記錄複製到r1[p]中，然後將被複製記錄的指標i或j加1，以及指向複製位置的指標p加1。
重複這一過程直至兩個輸入的子檔案有乙個已全部複製完畢(不妨稱其為空)，此時將另一非空的子檔案中剩餘記錄依次複製到r1中即可。
（2）動態申請r1
實現時，r1是動態申請的，因為申請的空間可能很大，故須加入申請空間是否成功的處理。
2、歸併演算法
歸併排序
歸併排序有兩種實現方法：自底向上和自頂向下。
1、 自底向上的方法
（1） 自底向上的基本思想
自底向上的基本思想是：第1趟歸併排序時，將待排序的檔案r[1..n]看作是n個長度為1的有序子檔案，將這些子檔案兩兩歸併，若n為偶數，則得到
個長度為2的有序子檔案；若n為奇數，則最後乙個子檔案輪空(不
參與歸併)。故本趟歸併完成後，前
個有序子檔案長度為2，但最
後乙個子檔案長度仍為1；第2趟歸併則是將第1趟歸併所得到的
個有序的子檔案兩兩歸併，如此反覆，直到最後得到乙個長度為n的有序檔案為止。
上述的每次歸併操作，均是將兩個有序的子檔案合併成乙個有序的子檔案，故稱其為"二路歸併排序"。類似地有k(k>2)路歸併排序。
（2） 二路歸併排序的全過程
【參見動畫演示】
（3） 一趟歸併演算法
分析：在某趟歸併中，設各子檔案長度為length(最後乙個子檔案的長度可能小於length)，則歸併前r[1..n]中共有
個有序的子檔案：r
[1..length]，r[length+1..2length]，…，
。注意：
呼叫歸併操作將相鄰的一對子檔案進行歸併時，必須對子檔案的個數可能是奇數、以及最後乙個子檔案的長度小於length這兩種特殊情況進行特殊處理：
① 若子檔案個數為奇數，則最後乙個子檔案無須和其它子檔案歸併(即本趟輪空)；
② 若子檔案個數為偶數，則要注意最後一對子檔案中後一子檔案的區間上界是n。
具體演算法如下：
（4）二路歸併排序演算法
注意：自底向上的歸併排序演算法雖然效率較高，但可讀性較差。
2、自頂向下的方法
採用分治法進行自頂向下的演算法設計，形式更為簡潔。
（1）分治法的三個步驟
設歸併排序的當前區間是r[low..high]，分治法的三個步驟是：
①分解：將當前區間一分為二，即求**點
②求解：遞迴地對兩個子區間r[low..mid]和r[mid+1..high]進行歸併排序；
③組合：將已排序的兩個子區間r[low..mid]和r[mid+1..high]歸併為乙個有序的區間r[low..high]。
遞迴的終結條件：子區間長度為1（乙個記錄自然有序）。
（2）具體演算法
（3）演算法mergesortdc的執行過程
演算法mergesortdc的執行過程如下圖所示的遞迴樹。
二、演算法分析
1、穩定性
歸併排序是一種穩定的排序。
2、儲存結構要求
可用順序儲存結構。也易於在鍊錶上實現。
3、時間複雜度
對長度為n的檔案，需進行
趟二路歸併，每趟歸併的時間為o(n)，故其時間複雜度無論是在最好情況下還是在最壞情況下均是o(nlgn)。
4、空間複雜度
需要乙個輔助向量來暫存兩有序子檔案歸併的結果，故其輔助空間複雜度為o(n)，顯然它不是就地排序。
注意：若用單鏈表做儲存結構，很容易給出就地的歸併排序。具體【參見練習】。
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