二項式係數
1. pascal公式：c( n, k ) = c( n-1, k ) + c( n-1, k-1)
2. 一些恒等式
a. k*c( n, k ) = n*c(n-1. k-1 )
b. c(n, 0) – c(n, 1) + c(n, 2) - … + (-1)nc(n, n) = 0 (n>=1)
c. 1*c(n, 1) + 2*c(n, 2) + 3*c(n, 3) + … + n*c(n, n) = n*2n-1
d. vandermonde卷積：
c(2n, n) = c(n, 0)2+ c(n, 1)2+ c(n, 2)2+ … + c(n, n)2
3. 多項式定理
a. (x1+ x2+…+ xt)n
中，項x1
n1x2
n2…xt
nt的係數是n! / (n1!* n2!*… *nt!)
b. 運用pascal定理描述，
c. n! / (n1!* n2!*… *nt!) = n!/[ ( (n1-1)!* n2!*… *nt!) ( n1!*( n2-1)!*… *nt!)… ( n1!*( n2-1)!*… *(nt-1)! ) ]
4. 牛頓二項式定理：(x+y)n = ∑c(n, k)xkyn-k
a. (x+y)n = ya(z+1)a = ya*∑c(a, k)zk
。其中z = x/y
b. 例如
計算sqrt(20)的展開式
遞推關係初步
1. 斐波那契數列部分和sn = f0+f1+…+fn = fn+2 – 1
2. 線性遞推關係：hn = a1hn-1 + a2hn-2 +…+ akhn-k + bn
a. 齊次: bn = 0
如果q是方程
xk – a1xk-1 – a2xk-2 -…- ak =0
的乙個根，則hn = qn
是遞推關係的乙個解
如果方程有k個非零根且互異，則
hn = c1q1
n + c2q2
n + … +ckqk
n是一般解
該方程稱為
特徵方程
如果qi
是si的重根，則一般解圍
hn = hn
(1) + hn
(2) +…+ hn
(t)
hn(t) = (c1 + c2n + … +csnst-1)qtn
例如hn = -hn-1 + 3hn-2 + 5hn-3 + 2hn-4
滿足h0 =1, h1 =0, h2 =1, h3 =2的解
做x4 + x3 – 3x2 -5x-2 =0
方程的根是-1， -1， -1， 2。
對於-1的部分解是 hn
(1) = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n
最終的一般解為
hn = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n + c42n
b. 非齊次
i. 求出齊次關係的一般解
ii. 求出非齊次關係的乙個特解
iii. 合併，求出常數項
難點在於找出特解
二項式係數
任務描述 根據二項式定理，對於給定的二項式 a b 的n次方可以展開為c a的k次方 b的 n k 次方，k 0,1,2,n。現在要求出二項式的各個項的係數c。輸入 第一行包含乙個整數k 1 k 33 表示測試用例的個數。每個測試用例包含乙個整數n 1 n 33 輸出 按公式中的順序輸出各個二項式係...
二項式的係數規律
二項式的係數規律，我國數學家很早就發現了。如 圖1.png 我國南宋數學家楊輝1261年所著的 詳解九章演算法 一書裡就出現了。其排列規律 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...
二項式係數學習筆記
dbinom dbinom dbinom k dbinom n dbinom dbinom dbinom dotsb dbinom 2 n n geq 0 dbinom dbinom dotsb dbinom dbinom dots 2 n geq 1 1 dbinom 2 dbinom dotsb...