2012-04-12 21:08:13
標籤：卡特蘭數
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卡特蘭數：規定h(0)＝1，而h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012，h(13)＝742900，h(14)＝2674440，h(15)＝9694845·····················
通項公式為：
遞推公式為：
h(n)=((4
*n-2
)/(n+
1))*h(n-1
)h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
卡特蘭數的應用：
1、矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
思路：可以這樣考慮，首先通過括號化，將p分成兩個部分，然後分別對兩個部分進行括號化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。
設n個矩陣的括號化方案的種數為f(n)，那麼問題的解為
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，然後分別括號化。
計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞迴式，不難發現f(n)等於h(n-1)。
2、乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
思路：這個與加括號的很相似，進棧操作相當於是左括號，而出棧操作相當於右括號。n個數的進棧次序和出棧次序構成了乙個含2n個數字的序列。第0個數字肯定是進棧的數，這個數相應的出棧的數一定是第2i+1個數。因為如果是2i，那麼中間包含了奇數個數，這奇數個肯定無法構成進棧出棧序列。
設問題的解為f(2n)， 那麼f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0個數字進棧後立即出棧，此時這個數字的進棧與出棧間包含的數字個數為0，剩餘為2n-2個數。f(2)*f(2n-4)表示第0個數字進棧與出棧間包含了2個數字，相當於1 2 2 1，剩餘為2n-4個數字。依次類推。
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
3、n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？
思路：可以這樣考慮，根肯定會占用乙個結點，那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式，t(0, n-1),t(1, n-2),...t(n-1, 0)，設t(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。
設問題的解為f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。
4、n對括號有多少種匹配方式？
思路：n對括號相當於有2n個符號，n個左括號、n個右括號，可以設問題的解為f(2n)
。第0個符號肯定為左括號，與之匹配的右括號必須為第2i+1字元。因為如果是第2i個字元，那麼第0個字元與第2i個字元間包含奇數個字元，而奇數個字元是無法構成匹配的。
通過簡單分析，f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字元與第1個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為0個字元，另一部分為2n-2個字元，然後對這兩部分求解。 f(2)*f(2n-4)表示第0個字元與第3個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為2個字元，另一部分為2n-4個字元。依次類推。
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
5、在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？
思路：以其中乙個點為基點，編號為0，然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號為0相連點的編號一定是奇數，
否則，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有乙個孤立點，從而導致兩線段相交。設選中的基點為a，與它連線的點為b，那麼a和b將所有點分成兩個部分，一部分位於a、b的左邊，另一部分位於a、b的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。
設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數為0，而位於它們左邊的點為2n-2。依次類推。
f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
6、求乙個凸多邊形區域劃分成三角形區域的方法數？
思路：以凸多邊形的一邊為基，設這條邊的2個頂點為a和b。從剩餘頂點中選1個，可以將凸多邊形分成三個部分，中間是乙個三角形，左右兩邊分別是兩個凸多邊形，然後求解左右兩個凸多邊形。
設問題的解f(n)，其中n表示頂點數，那麼f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三個相鄰的頂點構成乙個三角形，那麼另外兩個部分的頂點數分別為2和n-1。
設f(2) = 1，那麼f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。結合遞推式，不難發現f(n) 等於h(n-
2)。
7、描述：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？
思路：可以將持5元買票視為進棧，那麼持10元買票視為5元的出棧。這個問題就轉化成了棧的出棧次序數。由應用三的分析直接得到結果，f(2n) 等於h(n)*n!*n!。
8、擁有 n+1 個葉子節點
的二叉樹的數量為h(n).例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：
9、n*n的方格地圖中，從乙個角到另外乙個角，不跨越對角線的路徑數為h(n).例如， 4×4方格地圖中的路徑有：
10、圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數為h(n)
11、說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。
燒餅5塊乙個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。
16個顧客互相不通氣，每人只買乙個。
問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。
h(8)=1430，所以總數=1430*8！*8！
12、在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
h(3)=5；所以總數為5*3！*3！=180.
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部分內容**
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
卡特蘭數 Catalan數
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