整除分塊 學習筆記

板子題-uva11526

題目大意：

給定乙個 \(n\)，求 \(\sum\limits_^\lfloor \frac \rfloor\)。其中 \(n\) 為 \(32\) 位無符號整數。

顯然如果暴力求解肯定是不可行的，顯然會 tle，所以我們需要找一種複雜度更優的演算法。

我們可以先令 \(n=10\)，觀察一下函式 \(\operatorname(x)=\lfloor\frac\rfloor\) 的影象：

觀察可以發現，不難發現：

當 \(x=1\) 的時候，\(\operatorname(x)=10\)。

當 \(x=2\) 的時候，\(\operatorname(x)=5\)。

當 \(x=3\) 的時候，\(\operatorname(x)=3\)。

當 \(x=4,5\) 的時候，\(\operatorname(x)=2\)。

當 \(x=6,7,8,9,10\) 的時候，\(\operatorname(x)=1\)。

我們是否能夠預處理出每個使 \(\operatorname(x)\) 相同的區間來更快地計算答案呢？

不難發現以下結論：

\[\forall n\in\mathbb_+, \left| \\rfloor \mid i\in\mathbb_+,i\le n \} \right| \le 2 \lfloor\sqrt\rfloor

\]證明：

當 \(i\le \lfloor\sqrt\rfloor\) 時，\(\lfloor\frac\rfloor\) 最多 \(\lfloor\sqrt\rfloor\) 個數字。

當 \(\lfloor\sqrt\rfloor時，\(1\le\lfloor\frac\rfloor\le\lfloor\sqrt\rfloor\)，最多有 \(\lfloor\sqrt\rfloor\) 個數字。

因此最多只有 \(2\sqrt\) 個數字。

根據前面的結論，這種做法的複雜度為 \(\theta\left(\sqrt\right)\)。

**：

#include#define ll long long

using namespace std;
ll n,ans;
void work()
printf("%lld",ans),putchar('\n'); return;
}int main()

\[\sum_^\operatorname(i)\lfloor\frac\rfloor

\]此時預處理出 \(\operatorname(x)\) 的字首和 \(\operatorname(x)\) 就可以在 \(\theta\left(\sqrt\right)\) 求出這個式子的值了。

**大致如下：

l=1,sum=0;

while(l<=n)

那麼我們只需要將前面的結論的 \(\lfloor\frac\rfloor}\rfloor\) 改為 \(\min \limits^_ \lfloor\frac\rfloor}\rfloor\) 即可。

（當然 \(n=2,n=3\) 的情況比較常見）

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