分塊 學習筆記

前言：內容參考自感謝。

分塊，是一種優雅的暴力，它通過對數列分段，完成對數列一些區間操作和區間查詢的操作，是一種根號演算法。本文屬於分塊入門筆記，旨在零基礎的同學學會分塊。

1 建塊

在建塊伊始，我們需要完成一下幾個任務：

1.確定塊的大小

2.確定塊的數量

3.標記每個塊的左右邊界

4.標記每個元素所屬的塊

5.對塊內的元素進行預處理

1.1.塊的大小：為了保證時間複雜度最優，一般我們讓塊的大小為$\sqrt(n)$。寫起來就一句話：

int size=sqrt(n);

1.2.塊的數量：顯然為$n/size$。如果$n$不是完全平方數，則讓數量+1。

int tot=n/size;

if (n%tot) tot++;

1.3.塊的端點：對於每個塊的左右端點，顯然$l[1]=1,r[1]=block,l[2]=r[1]+1,r[2]=block*2,\cdots$，所以我們可以得到：

for (int i=1;i<=tot;i++)

l[i]=(i-1)*size+1,r[i]=i*size;

1.4.所屬的塊：同樣，我們可以得到每個元素所屬的塊：

for (int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/size+1;

1.5.初始化：根據題目的要求來進行操作。一般都有預處理區間和，或者對元素進行排序。

2.修改

分塊題常見的操作就是區間修改。對於修改區間$(x,y)$，我們一般這樣處理：

$(x,y)$的左邊和右邊可能不是屬於乙個整塊的。對於這些邊邊角角，我們暴力處理即可。

對於中間的整塊，我們考慮線段樹區間修改的思想：$lazy tag$。我們只需讓$add[i]+=k$即可，這就是分塊演算法較為高效的地方。

注意特判$belong[x]==belong[y]$的情況，此情況暴力處理即可。

**如下（以洛谷p2801為例）：

inline void

update()
for (int i=x;i<=r[belong[x]];i++) a[i]+=k;//暴力處理
for (int i=l[belong[x]];i<=r[belong[x]];i++) d[i]=a[i];
sort(d+l[belong[x]],d+r[belong[x]]+1
);    
for (int i=l[belong[y]];i<=y;i++) a[i]+=k;
for (int i=l[belong[y]];i<=r[belong[y]];i++) d[i]=a[i];
sort(d+l[belong[y]],d+r[belong[y]]+1
);    
for (int i=belong[x]+1;i<=belong[y]-1;i++) add[i]+=k;//使用lazy tag。因為整塊內元素相對大小不變，所以無需進行重新排序。
}

3.查詢

如果是查詢區間和，那麼直接$ans+=sum[i]+add[i]*(r[i]-l[i]+1)$即可。如果是進行大小的查詢，因為塊內我們已經排過序，元素滿足單調性，所以我們可以進行二分查詢。

跟修改塊一樣，我們同樣是暴力處理邊邊角角，對於整塊二分查詢。

**如下（以洛谷p2801為例）：

inline void

query()
for (int i=x;i<=r[belong[x]];i++) if (add[belong[x]]+a[i]>=k) ans++;//暴力
for (int i=l[belong[y]];i<=y;i++) if (add[belong[y]]+a[i]>=k) ans++;
for (int i=belong[x]+1;i<=belong[y]-1;i++)
ans+=res;
}printf(
"%d\n
",ans);
}

4.完整**

這裡以洛谷p2801為例。這題有乙個小細節，我們應該開兩個陣列：運算元組和原始陣列。因為排序會把原有元素的順序打亂，所以我們在暴力處理邊邊角角的時候要用到原始陣列。對於整塊處理因為是整體處理，所以直接用運算元組即可。

**：

#includeusing

namespace
std;
int a[1000005],d[1000005],l[1005],r[1005],belong[1000005],add[1005
];int
n,q,block,tot,x,y,k;
inline 
intread()
while(isdigit(ch))
return x*f;
}inline 
void
build()
inline 
void
update()
for (int i=x;i<=r[belong[x]];i++) a[i]+=k;
for (int i=l[belong[x]];i<=r[belong[x]];i++) d[i]=a[i];
sort(d+l[belong[x]],d+r[belong[x]]+1
);    
for (int i=l[belong[y]];i<=y;i++) a[i]+=k;
for (int i=l[belong[y]];i<=r[belong[y]];i++) d[i]=a[i];
sort(d+l[belong[y]],d+r[belong[y]]+1
);    
for (int i=belong[x]+1;i<=belong[y]-1;i++) add[i]+=k;
}inline 
void
query()
for (int i=x;i<=r[belong[x]];i++) if (add[belong[x]]+a[i]>=k) ans++;
for (int i=l[belong[y]];i<=y;i++) if (add[belong[y]]+a[i]>=k) ans++;
for (int i=belong[x]+1;i<=belong[y]-1;i++)
ans+=res;
}printf(
"%d\n
",ans);
}signed main()
return0;
}

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