學習筆記 DP 經典模型

首先我們可以發現，貪心是行不通的。見 hack：

1 10 1 10 1 1

0 0 0 100

假如每次都選可以走的點中最大的，那麼走出來的是 \(1 + 10 + 10 + 0 = 20\)，但實際上，我們可以走 \(1 + 10 + 1 + 100 = 112\)，這也是最優路徑。

所以，我們考慮動態規劃（dp）。

設 \(f_\) 表示從第 \(i\) 行第 \(j\) 列走到最後一行的最大的和。邊界根據定義（術語叫做狀態），就是 \(f_ = w_\)（\(w\) 是點的權值）。這樣，我們只需要從最後一層逆著往上走，推到 \(f_\) 即是答案。

考慮 \((i, j)\) 是如何被走到的，發現可以被 \((i + 1, j)\) 走到，也可以被 \((i + 1, j + 1)\) 走到（這裡是逆著走的）。那麼我們得到乙個柿子（術語叫做狀態轉移方程，也就是 \(f_\) 這個狀態是怎麼從別的狀態轉移過來的），\(f_ = \max(f_, f_) + w_\)（別忘了加上本身的權值）。

上面我們介紹了逆推，那麼，可不可以順推呢？

既然要順推，我們定義 \(f_\) 表示從 \((1, 1)\) 走到 \((i, j)\) 的最大和。邊界即 \(f_ = w_\)。

順著走，發現 \((i, j)\) 可以被 \((i - 1, j)\) 和 \((i - 1, j - 1)\) 走到。從而有 \(f_ = \max(f_, f_) + w_\)。

由於不能保證最後在**結束，所以答案為 \(\max_\\}\)（走到第 \(n\) 行的所有路徑的最大值）。

最長上公升子串行即 longest increasing subsequence（lis）。這裡我們介紹簡單的 \(o(n ^ 2)\) 做法。

設 \(f_i\) 表示前 \(i\) 個數中以 \(a_i\) 結尾（經常這麼設計狀態）的 lis 長度。初始 \(f_i = 1\)（\(a_i\) 自己就是乙個上公升子串行）。

考慮如何轉移。注意到前 \(i\) 個數中以 \(a_i\) 結尾的 lis 一定是乙個不以 \(a_i\) 結尾的 lis「拼上」\(a_i\)。那麼我們可以列舉這個不以 \(a_i\) 結尾的 lis 的結尾 \(j\)。從而有狀態轉移方程 \(f_i = \max_\\)（這個狀態轉移方程很重要，請細細體會）。

**如下：

#include using namespace std;
const int n = 1005;
int n, a[n], f[n], ans;
int main() 
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
if (a[j] < a[i] && f[j] + 1 > f[i])
f[i] = f[j] + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (f[i] > f[ans]) ans = i;
cout << f[ans] << endl;
return 0;
}

那如果我們要輸出 lis 呢？其實也非常簡單。我們用乙個 \(pre\) 陣列來記錄，表示 \(i\) 是從 \(pre_i\) 「轉移」過來的（\(pre_i\) 下乙個就是 \(i\)）。這樣，我們只需要在轉移的時候，加上pre[i] = j即可。

輸出時，我們可以使用遞迴。**如下：

#include using namespace std;
const int n = 5005;
int n, a[n], pre[n], f[n], ans;
void print(int x) 
int main() 
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
if (a[j] < a[i] && f[j] + 1 > f[i]) 
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (f[i] > f[ans]) ans = i;
cout << f[ans] << endl;
print(ans);
return 0;
}

這種記錄前驅 \(pre\) 或者字尾 \(nxt\) 的輸出方法在 dp、搜尋中很常見，請讀者一定掌握。

ps：還有 \(o(n \log n)\) 的 lis 方法，使用二分，可以自行上網搜尋。

最長公共子串行，即 longest common subsequence（lcs）。

給出兩個長度為 \(n\) 和 \(m\) 的字串 \(a\) 和 \(b\)，求即是 \(a\) 的子串行又是 \(b\) 的子串行的最大長度。

設 \(f_\) 表示 \(a_\) 與 \(b_\) 的 lcs 長度。當 \(a_i = b_j\)，即它們是公共時，我們可以把它們作為乙個公共子串行，從而有 \(f_ = f_ + 1\)；否則它們不公共，那麼「丟掉」\(a_i\) 或者 \(b_j\) 對 lcs 是沒有影響的，有 \(f_ = \max(f_, f_)\)。

綜上，得到狀態轉移方程

\[ f_ =\left\

& f_ + 1 \ (a_i = b_j)\\

& \max(f_, f_) \ \text

\end

\right.

\]**如下：

#include using namespace std;
const int n = 1005;
int n, m;
char a[n], b[n];
int dp[n][n];
int main()

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