正態分佈是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心極限定理原理的函式，該定理指出當隨機樣本足夠大時，總體樣本將趨向於期望值並且遠離期望值的值將不太頻繁地出現。高斯積分是高斯函式在整條實數線上的定積分。這三個主題，高斯函式、高斯積分和高斯概率分布是這樣交織在一起的，所以我認為最好嘗試一次性解決這三個主題（但是我錯了，這是本篇文章的不同主題）。本篇文章我們首先將研究高斯函式的一般定義是什麼，然後將看一下高斯積分，其結果對於確定正態分佈的歸一化常數是非常必要的。最後我們將使用收集的資訊理解，推導出正態分佈方程。
首先，讓我們了解高斯函式實際上是什麼。高斯函式是將指數函式 exp(x) 與凹二次函式（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2組成的函式。結果是一系列呈現「鐘形曲線」的形狀的函式。
兩個高斯函式的圖。第乙個高斯(綠色)的λ=1和a=1。第二個(橙色)λ=2和a=1.5。兩個函式都不是標準化的。也就是說，曲線下的面積不等於1。
大多數人都熟悉這類曲線是因為它們在概率和統計中被廣泛使用，尤其是作為正態分佈隨機變數的概率密度函式。在這些情況下，函式具有的係數和引數既可以縮放「鐘形」的振幅，改變其標準差(寬度)，又可以平移平均值，所有這一切都是在曲線下的面積進行歸一化(縮放鐘形，使曲線下的面積總是等於1)的同時進行的。結果是乙個高斯函式包含了一大堆的引數來影響這些結果。
如果將其認為是均值 = μ 且標準差 = σ 的正態分佈方程。將其與高斯 λ exp(-ax^2) 的一般形式進行比較，我們可以看到：
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高斯 到 正態分佈 的前世今生
學過基礎統計學的同學大都對正態分佈非常熟悉。這個鐘型的分布曲線不但形狀優雅，其密度函式寫成數學表示式 也非常具有數學的美感。其標準化後的概率密度函式 更加的簡潔漂亮,兩個最重要的數學常量 e都出現在了公式之中。在我個人的審美之中，它也屬於top n的最美麗的數學公式之一，如果有人問我數理統計領域哪個...
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高斯分布概率密度函式積分推導
高斯分布 f x frac sigma exp frac 標準高斯分布 f x frac exp frac 乙個高斯分布只需線性變換即可化為標準高斯分布，所以只需推導標準高斯分布概率密度的積分。由 int frac exp frac dx int frac exp frac dy 得 int fra...