高斯分布：
$f(x) = \frac\sigma }exp(-\frac}})$
標準高斯分布：
$f(x) = \frac }exp(-\frac})$
乙個高斯分布只需線性變換即可化為標準高斯分布，所以只需推導標準高斯分布概率密度的積分。由：
$\int_^\frac }exp(-\frac})dx = \int_^\frac }exp(-\frac})dy$
得: $\int_^\frac }exp(-\frac})dx\int_^\frac }exp(-\frac})dy = \frac\int_^\int_^exp(-\frac+y^)})dxdy$
變換為極座標得：
$x = rcos\theta , y = rsin\theta$
$\frac\int_^\int_^exp(-\frac+y^)})dxdy = \frac\int_^\int_^exp(-\frac})rdrd\theta$
$\frac\int_^\int_^exp(-\frac+y^)})dxdy = \int_^exp(-\frac})rdr$
令$t = \frac} $,得：
$\int_^exp(-\frac})rdr = \int_^exp(-t)dt = 1$
終得：$\int_^\frac }exp(-\frac})dx = \int_^\frac }exp(-\frac})dy = 1$
由於標準高斯分布概率密度函式$f(x)$滿足：
$\int_^f(x)dx = \int_^f(x-c)dx$
$\int_^f(x)dx = \frac\int_^f(\frac)dx$
所以任意高斯分布概率密度函式積分為1。
高斯分布的均值：
$ e(x) = \int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})xdx $
$= \int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})（x-\mu）dx + \mu\int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})dx $
由奇偶性得：
$ e(x) = \mu\int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})dx = \mu$
高斯分布的方差：
$var(x) = \int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})(x-\mu)^dx$
$\int_^\frac\sigma }exp(-\frac}})y^dy = \sigma^ $
概率分布函式和概率密度函式
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