現有 \(n\) 個線段，第 \(i\) 個線段長度為 \(l_i\)，現最多可以切 \(k\) 刀，只能在整數字置切。要求最小化切完後所有線段的長度的平方和。又有 \(q\) 次操作，每次將 \(k\) 加一或減一，或者新加一段長為 \(l_i\) 的線段。每次問最小的平方和。\(n,q,l_i,k \le 10^5\)。保證答案不爆 long long首先 \(nqk\) 的揹包dp就不說了，反正正解和這沒啥關係。
注意不到平方和關於切的刀數是個下凸函式，或者說平方和的減少量這個東西關於切的刀數 \(k\) 是個減函式。於是可以費用流。
考慮一種網路流模型，將代價轉化為 $l_i^2 - $ 切 \(k\) 刀的收益。將收益拆成若干份，如果多給它一刀就會多獲得一些收益，跑最大費用可行流即可。正確性在於代價函式是下凸函式。這個費用流模型的優勢在於能更好地應對 \(k\) 的微小變化。
考慮模擬費用流。用乙個堆維護每個段當前能擴充套件出來的差分，再用乙個堆來維護已經選擇的那些差分。先撿收益大的 \(k\) 個差分作為初始答案。如果 \(k\) 加一，那麼從第乙個堆中找出最大的那個扔到第二個堆中並計入答案；如果 \(k\) 減一，那麼從第二個堆中選出最小的那個，放棄掉它。
對於新加入乙個段，我們可以直接暴力做，一直到它能擴充套件出來的差分小於已經選擇的最小的差分。我目前不會證複雜度（據說總共 \(o(nlogn)\) 次），但是能夠感性理解如果加乙個巨大的段而之前都非常小，我們會操作好多次，但是會把平均值拉大，以後就很難再操作那麼多次了。複雜度正確的主要原因是沒有刪除線段的操作。
總複雜度\(o(nlog^2n)\)。
關鍵**：
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