題目鏈結
類題：氣泡排序
求長度為 \(n\) 的排列中滿足最長下降子串行長度不超過 2 ，且符合\(p_x=y\) 的排列數。\(n \le 10^7,t \le 10^6\)題意轉化：不存在三個點，使得左邊的點比中間大，右邊的點比中間小。
我們要知道乙個 trick : 從大到小/從小到大列舉數，嘗試將其插入當前排列，並使之合法。這樣的話我們在插入的時候只需要保證如果前面有比它大的的話，以後比它小的就不能放後邊了。由於我們從大到小放，當前序列上的數都比他大，之後的數都比他小，於是我們要麼放最前面，要麼放到某個位置，並且要求以後放的數都要在它之前。
我們發現這可能會有乙個「只能放在前 \(j\) 個數之後」的限制。於是設定dp狀態：\(f_\) 表示已經放了 \(i\) 個數，要求以後只能放在前 \(j\) 個數之後（或者最前面）的方案數，那麼轉移就比較顯然了：
放最前面：
\[f_ \to f_
\]放第 \(k\) 個的後面：
\[f_ \to f_,k\le j
\]總的來說：
\[f_ \to f_,k\le j+1
\]如果我們在一張網格圖上看，這像是網格圖上的路徑；經過一些轉化，我們發現轉移其實就是只能向右上走，且不能穿過 \(y=x\) 的一條條路徑，一次轉移相當於向右走一步，再向上走若干步。
然後題目還要求 \(p_x=y\)。如果 \(x=y\)，那麼第 \(x\) 個之前一定都是比 \(y\) 小的，第 \(x\) 個之後一定都是比 \(y\) 大的。直接單獨用卡特蘭數算後乘起來即可。
如果 \(x > y\)，那麼我們在放第 \(y\) 小的數的時候就不能讓它放到最前面了，否則僅剩的 \(y-1\) 個數不足以支援其成為第 \(x\) 個數。那麼他只能放到某乙個數的後面，這樣的話以後比他小的數就都會放到他的前面，那麼這個數到底插到第幾個數的後面就知道了，即能算出乙個數 \(k\)，使得所有第 \(x-1\) 列的狀態都要轉移到 \(f_\)。然後問題轉化為了乙個網格圖上必經一點的「卡特蘭數」，亦用翻摺法可解（根據 \(y=x+1\) 對稱）。
如果 \(x < y\)，看起來它是可以放到最前面的，並且對以後的影響也不太好處理。不過這種問題實際上可以轉化為 \(x \gets n - x + 1, y \gets n - y + 1\) 的問題（全部取反後成為反向問題）
下面給出一些關鍵引數:
由dp轉化為「卡特蘭數」網格圖的方法:
\[(x,y) \to (x-1, x-y)
\]這種轉化方法將「放在最前面」對映成了橫著走
必經的那個點：
\[(n-y,n-x+1)
\]根據 \(y=x+1\) 翻摺：
\[(x,y) \to (y-1,x+1)
\]路徑：
\[(0,0) \to (n-y,n-x+1) \to (n,n)
\]注意，我們不僅要求經過一點，還要求經過前一步不能橫著走過來，經過的後一步要先向右走一步。
關鍵**：
inline ll calc(int n, int m)
inline void work()
if (x < y) x = n - x + 1, y = n - y + 1;
ll ans = (calc(n - y, n - x + 1) - (x == y + 1 ? 0 : calc(n - y - 1, n - x + 1))) * (get_c(y-1+x-1,y-1) - get_c(y-2+x,x)) % p;
//attention!!!
printf("%lld\n", (ans % p + p) % p);
}
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