題目鏈結
這是noip良心模擬賽的第一題
求對於任意的 \(i\) 滿足 \(|p_i - i| \not = k\) 的排列數。 \(n,k \le 10^5\)首先 \(k=0\) 直接錯排數。
\(k=1\) 考慮容斥。假設我們能算出來 \(g_i\) 表示欽定 \(i\) 個位置不合法的方案數，那麼答案應該是
\[\sum_^n(-1)^ig_i(n-i)!
\]注意不是二項式反演，因為它並不需要反演，而是直接上容斥，我們可以輕鬆地用 \(g\) 來表示答案。
現在我們需要求出 \(g_i\)，即欽定 \(i\) 個位置不合法的方案數。
雖然我們是在欽定「不合法位置」，但是那只是不符合 \(|p_i - i| \not= k\)，還需要符合排列的性質，即不能讓兩個位置是同乙個數。我們發現這種限制關係可以被劃分成 \(n/k\) 條鏈，每條鏈是由若干相距 \(k\) 的元素組成的。鏈與鏈之間獨立，可以直接揹包。故現只考慮一條鏈上選 \(i\) 個的方案數。
建立圖論模型：將其看做二分圖，發現左右部的出邊是互不影響的，於是可以拆成兩條鏈。對於一條鏈來說，我們對其的要求就僅有不能選擇相鄰的兩個元素。此模型詳見我的部落格，答案是 \(\)
這樣我們就得到了一些揹包，我們的任務是把他們合併起來。而這個可以用 ntt 優化到 \(n^2logn\)。並且發現這些揹包只有兩種，於是可以多項式快速冪搞。複雜度 \(o(nlogn)\)。又發現揹包元素只有 \(n/k\)，於是我們可以直接取夠 \(n\) 個樣本然後直接 dft 後快速冪即可。複雜度 \(o(nlogp)\)
code:
ll f1[n], f2[n];
ll a[n], b[n];
int r[n];
int limi = 1, l;
inline void init()
int ct;
inline void ntt(ll *a, int type)
ll tmp[n];
inline void mul(ll *a, ll *b)
inline void pow(ll *a, int k)
int main()
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