複數
重要性質：複數相乘，輻角相加，模長相乘。
即 \(\operatorname(z_1\times z_2)=\operatorname(z_1)+\operatorname(z_2)\)。
那麼 \(\operatorname(z^n)=n\operatorname(z)\)。
弧度制三角函式
\(n\) 次冪 為 \(1\) 的複數叫做 \(n\) 次單位根，即方程 \(z^n=1\) 的複數根。\(n\) 次單位根有 \(n\) 個。
因為 \(z^n=1\)，所以 \(\left\vert z\right\vert^n=1\)。而模長一定是個非負實數，所以 \(\left\vert z\right\vert=1\)。也就是說單位根到原點的距離為 \(1\)，一定在單位圓（以原點為圓心，半徑為 \(1\) 單位長度的圓）上。
我們把所有 \(n\) 次單位根從 \(1\) 開始，沿逆時針方向記為 \(\omega_n^0,\omega_n^1,\dots\omega_n^\)。
由原方程還可以得到 \(\operatorname((\omega_n^k)^n)=n\operatorname(\omega_n^k)=\operatorname(1)\)，所以把 \(1\) 逆時針旋轉 \(n\) 次，每次旋轉 \(\operatorname(\omega_n^k)\)，結果還是 \(1\)。那麼 \(2\pi\mid n\operatorname(\omega_n^k)\)。每個單位根又互不相同，所以 \(\operatorname(\omega_n^k)=\dfrac2\pi\)。它們把單位圓 \(n\) 等分。\(\omega_n^k\) 相當於繞原點把 \(\omega_n^\) 逆時針旋轉 \(\dfrac\)。
對於 \(k~(k\ge n)\)，定義 \(\omega_n^k=\omega_n^\)
性質：\(\omega_n^k=(\omega_n^1)^k\)
\(\omega_^=\omega_n^k\)
因為它們模長都是 \(1\)，輻角也相等。
\(\omega_n^i\times\omega_n^j=\omega_n^\)
用性質 1 容易得證。
若 \(n\) 是偶數，\(\omega_n^}=-\omega_n^k\)
\(\omega_n^}=\omega_n^k\times\omega_n^\frac\)，\(\operatorname(\omega_n^\frac)=180^\circ\)，相當於把 \(\omega_n^k\) 繞原點旋轉 \(180^\circ\)，即關於原點中心對稱，實部虛部都取相反數，所以是 \(-\omega_n^k\)。
\(\sum\limits_^\omega_n^i=\dfrac\times\omega_n^1-\omega_n^0}=0\)
（等比數列求和）
\(n+1\) 個點確定唯一 \(n\) 次多項式。我們可以用 \(n+1\) 個點表示原多項式，並對點值序列進行一些操作（如乘法），最後由這個點值序列得到乙個新的多項式，來代替原多項式之間的操作。
比如 \(f(x)=x^2+2x-1,g(x)=-3x+1\)
在 \(f(x)\) 上取 \((-1,-2)(0,-1)(1,2)(2,7)\)
在 \(g(x)\) 上取 \((-1,4)(0,1)(1,-2)(2,-5)\)
兩個點值序列中，橫座標相同的點的縱座標相乘，得到 \((-1,-8)(0,-1)(1,-4)(2,-35)\)
根據這些點確定乙個 \(3\) 次多項式得到 \(-3x^3-5x^2+5x-1\)，恰好等於 \(f(x)\cdot g(x)\)。
dft 是把係數表達轉換成點值表達的過程。我們把單位根代入多項式得到點值序列。
考慮乙個 \(n-1\) 次（\(n\) 項）多項式 \(f(x)=\sum\limits_^f_ix^i\)。
由於 \(n\) 是 \(2\) 的整數冪時比較好做，故 \(n\) 不是 \(2\) 的整數冪時往高次項補 \(0\)。
把它按次數的奇偶性分類：
\(f(x)=f_0+f_2x^2+\dots+f_x^+f_1x+f_3x^3+\dots+f_x^\)
令 \(fl(x)=f_0+f_2x+f_4x^2+\dots+f_x^,fr(x)=f_1+f_3x+f_5x^2+\dots+f_x^\)
則有 \(f(x)=fl(x^2)+xfr(x^2)\)。
現要把單位根代入 \(f\)。
列舉 \(k~(0\le k<\dfrac)\)
\(f(\omega_n^k)=fl((\omega_n^k)^2)+\omega_n^kfr((\omega_n^k)^2)=fl(\omega_^k)+\omega_n^kfr(\omega_^k)\)
\(f(\omega_n^)=fl((\omega_n^)^2)+\omega_n^fr((\omega_n^)^2)=fl(\omega_n^)+\omega_n^fr(\omega_n^)=fl(\omega_^k)-\omega_n^kfr(\omega_^k)\)
如果我們知道了 \(x=\omega_^k~(0\le k時 \(fl(x)\) 和 \(fr(x)\) 的值，就可以算出 \(x=\omega_n^k~(0\le k時 \(f(x)\) 的值。\(fl,fr\) 可以遞迴求。
求單位根：用三角函式求出 \(\omega_n^1\)，利用性質 1 每次乘上它，防止多次呼叫三角函式。
\(\large\\\large^k)+\omega_n^kfr(\omega_^k)}\\\large)=fl(\omega_^k)-\omega_n^kfr(\omega_^k)}\)
有了點值序列還不夠，我們還得根據點值求多項式。
令 \(g\) 為點值序列即 \(g_k=f(\omega_n^k)=\sum\limits_^f_i(\omega_n^k)^i\)
有 \(nf_k=\sum\limits_^(\omega_n^)^ig_i\)
也就是說，對 \(g\) 再做一遍 dft，不同的是初始單位根為 \(1\)，每次乘上 \(\omega_n^\)
而 \(\omega_n^\) 是 \(\omega_n^\) 的共軛。
不會證根據上文可以寫出遞迴的版本，但常數較大。現在嘗試寫出非遞迴版。
考慮 \(0\dots n-1\) 次項係數遞迴到每一層時的位置。
以 \(n=8\) 為例
0 1 2 3 4 5 6 7
---------------
0 1 2 3 4 5 6 7
0 2 4 6|1 3 5 7
0 4|2 6|1 5|3 7
0|4|2|6|1|5|3|7
| | 原 | 現 |
| 0 | 000 | 000 |
| 1 | 001 | 100 |
| 2 | 010 | 010 |
| 3 | 011 | 110 |
| 4 | 100 | 001 |
| 5 | 101 | 101 |
| 6 | 110 | 011 |
| 7 | 111 | 111 |
然後列舉現在要處理 \(m\) 次多項式（\(m=2,4,8,.\dots,n\)）。把序列分成 \(\dfrac\) 段，列舉段的起始點 \(l\)，在這一段內列舉 \(k~(0\le k<\dfrac)\) 計算 \(f(l+k)\) 和 \(f(l+\dfrac+k)\).
**（多項式乘法）：
const double pi = acos(-1);
int tr[n], n, m;
struct cp
inline cp operator - (const cp &c) const
inline cp operator * (const cp &c) const
cp() {}
cp(const double &_x, const double &_y) : x(_x), y(_y) {}
} f[n], g[n];
inline void swap(cp &x, cp &y)
void fft(cp *f, int fl)
} }}signed main()
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