fft可用於解決一些卷積問題。
一般問題形式如下： c=
a∗b
c[i]
=∑ij
=0a[
i]∗b
[i−j
] 若把a，b看成兩個次數為n多項式 a(
x)=∑
ni=0
a[i]
∗xi,
b(x)
=∑ni
=0b[
i]∗x
i 原問題等於兩個多項式相乘，c的次數等於2n-1
乙個次數界為n的多項式a的點值表達為n個點值對所組成的集合。形如
其中yi=a(xi)，x各不相同。
插值運算為點值運算的逆運算，如果給定乙個n個點值對的點值表達，我們可以確定唯一乙個次數界為n的多項式。
對於多項式乘法，
我們可以求出a的點值表達和b的點值表達
則c的點值表達為
再通過插值運算，則可求出c的每一項的係數。
直接暴力，複雜度是o(n^2)的，fft的關鍵就在於x的選取。
形如a+bi(i=
−1−−
−√)
如果建立平面直角座標系，a作為x座標，b作為y座標，我們可以用乙個點對(a,b)來表示乙個複數，也相當於乙個平面向量。
用三角函式簡單推導，可以發現，複數乘法得到的新向量的模長等於原向量的模長之積，與x軸的夾角等於原向量的夾角之和。
n次單位複數根是滿足wn
=1的複數w 且w
1 ~wn
把平面均勻的分成n份 記w
為主n次單位複數根，則w=(cos(2π
/n),sin(2π
/n)) wi
=wi−
1∗w=
(cos
(2iπ
/n),sin(2i
π/n)
) 為了區分其他次單位複數根，我們添乙個下標來表示(wi
n )wd
kdn=
wkn
wdkd
n=(c
os(2
dkπ/
(dn)
),si
n(2d
kπ/(
dn))
)=(c
os(2
kπ/n
),si
n(2k
π/n)
)=wk
n 2n次單位複數根的平方的集合，等於n次單位複數根的集合。
易知對於任意乙個<=n的k，存在唯一乙個<=n的k』滿足wk
n=−w
k′n
(wk2
n)2=
(wk′
2n)2
=wkn
k!=0，n>0時∑n
−1i=
0wki
n=0
相當於等比數列求和，∑n
−1i=
0wki
n=(w
knn−
w0n)
/(wk
−1)=
0 為了方便，我們只考慮次數n=2^k的多項式乘法
如何求出單個數x的函式值a(x)？我們定義兩個多項式 a0
(x)=
a0+a
2x+a
4x2⋅
⋅⋅an
−2xn
/2 a
1(x)
=a1+
a3x+
a5x2
⋅⋅⋅a
n−1x
n/2
a(x)
=a0(
x2)+
x∗a1
(x2)
原問題：求a(x)在n次單位複數根上的函式值。
轉化成：求a0(x)和a1(x)在n/2次單位複數根上的值。
於是可以遞迴地對n/2的多項式a0(x)與a1(x)在n/2個n/2次單位複數根進行求值。
插值運算
如果把點值運算寫成矩陣方程的形式，可以得到表示式y=
vn∗a
。 那麼插值運算相當於求a，a=
v−1n
∗y
結論，v−1
n[j,
k]=w
−jkn
/n.
證明：[vn
∗v−1
n][j
,j']
=∑n−
1i=0
w(j'
−j)i
n/n ，如果j』=j，那後面為1，否則根據求和引理，為0。
如何把空間複雜度降為o(n)呢？
不好講，詳見**吧…
struct z
}c[maxn],d[maxn],g[maxn],a[maxn],b[maxn],an[maxn];
z operator *(z a,z b)
z operator +(z a,z b)
z operator -(z a,z b)
void dft(ar *a,int sig)
}}fo(i,0,l-1)a[i]=g[i];
if (sig<0) fo(i,0,l-1) a[i].x/=l;
}void fft()
void chu()
}
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