FFT學習筆記

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fft，快速傅利葉變換，是一種在$o(n\log n)$的時間內計算兩個多項式乘積的演算法。

沒學過的請自行翻閱高中數學選修2-2。

給出乙個多項式 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n $

係數表示法

就是用乙個係數序列來表達多項式，顯然係數序列和多項式是一一對應的。

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \leftrightarrow f(x) = \

\]點值表示法

點值表示法是把這個多項式看成乙個函式，從上面選取$n+1$個點，從而利用這 $n+1$ 個點來唯一的表示這個函式。

正如解乙個 $n$ 元方程組需要 $n+1$ 個方程一樣，這 $n+1$ 個點的序列顯然也和多項式一一對應。

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \leftrightarrow f(x) = \

\]--------------------分割線--------------------

這兩種表示法各有優劣，係數表示法可以在 $o(n)$ 的時間內求出乙個 $f(x_0)$ ，但計算多項式乘法時卻需要 $o(n^2)$ 的時間，點值表示法則正好相反。所以fft的目的就是利用一些特殊的點，把複雜度均攤一下，變成 $o(n\log n)$

這是fft降低複雜度的關鍵，因為單位復根有極為優秀的性質。

定義：對於方程 $x^n = 1$ 的複數解，稱之為 $n$ 次單位復根，顯然這樣的單位復根有 $n$ 個。

其中乙個可以表示為 $ \omega_n = e^} $ 那麼對於每乙個單位復根，有$$ \omega_n^k = e^} $$

而根據尤拉公式，又有：

\[\omega_n = e^} = cos(\frac) + i · sin(\frac)

\]幾何意義：

在乙個單位圓中，把單位圓等分，幾個等分點的座標就是單位復根的向量。

這個圖就可以生動形象表示出來了。

單位根的性質

性質1：$\omega_n^0 = 1$

這十分顯然，看圖就知道了。

性質2：$\omega_n^k = \omega_^$

可以根據公式證明，或者幾何意義也可直觀理解。

性質3：$\omega_n^}=-\omega_n^k$

仍然是代入公式證明即可。

這三個性質就是fft降低複雜度的關鍵了。

對於乙個多項式 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_x^ $

為了便於操作，設 $n = 2^k$$ ，不足補0即可。

然後按照奇偶項分類，奇數項提出乙個 $x$：

\[f(x) = (a_0 + a_2x^2 + ... + a_x^) + x(a_1 + a_3x^2 + ... + a_x^

\]設兩個新的多項式：

\[g(x) = a_0 + a_2x + ... + a_x^}

\]\[h(x) = a_1 + a_3x + ... + a_x^}

\]那麼就可以得到：

\[f(x) = g(x^2)+x·h(x^2)

\]設$dft(f(x))$表示對 $f(x)$ 進行dft操作後得到的點值表示，則:

\[dft(f(x)) = dft(g(x^2))+x·dft(h(x^2))

\]重要的步驟出現了！這時我們依次代入單位復根：

\[dft(f(\omega_n^k)) = dft(g((\omega_n^k)^2))+\omega_n^k·dft(h((\omega_n^k))^2))

\]\[dft(f(\omega_n^k)) = dft(g(\omega_n^))+\omega_n^k·dft(h(\omega_n^))

\]\[dft(f(\omega_n^k)) = dft(g(\omega_}^))+\omega_n^k·dft(h(\omega_}^))

\]同理：

\[dft(f(\omega_n^})) = dft(g(\omega_}^))-x·dft(h(\omega_}^))

\]我們發現，只要我們求出了$dft(g(\omega_}^))$ 和 $dft(h(\omega_}^))$，就可以求出 $dft(f(\omega_n^k))$ 和 $dft(f(\omega_n^}))$，而這是乙個問題規模不斷變小的子問題，直接遞迴就行了。

複雜度分析：

代入操作要進行 $n$ 次，花費 $o(n)$ 的時間，設單次操作複雜度為 $t(n)$，則有：

\[t(n) = 2t(\frac) +o(n)

\]根據主定理，可得複雜度為 $o(n \log n)$

證明過程又臭又長，這裡就不寫了qwq。(參考鏈結)

只介紹演算法：

對於乙個點值序列：$f(x) = \$

進行的操作方法和dft類似，只是每次代入$\frac$即可。

化簡一下：

$\frac = e^} = cos(\frac) + i · sin(-\frac)$

我們注意到這個值和dft代入的值僅僅只有符號上的區別，那麼不妨定義乙個變數$op$，當 $op$ 取 $1$ 時進行 dft操作，取 $-1$ 就是idft操作。

**實現：

void fft(comp *f,int n,int op) // op=1 -> dft,op=-1 -> idft
comp *g = f,*h = f + n / 2;
fft(g,n / 2,op);fft(h,n / 2,op);//遞迴
comp w(cos(2 * pi / n),sin(2 * pi * op / n)),x(1,0);//單位根
for(int k = 0;k < n / 2;++k)
for(int i = 0;i < n;++i) f[i] = tmp[i];
return;
}

好的最樸素的fft就講完了。

咕咕咕咕咕咕咕咕咕

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