很早就想學fft那套理論，但抱著能咕一天是一天的態度咕到了今天
fft是幹什麼的？
求兩個多項式卷積的，比如$g=a*b$($g_x=\sum}$)
顯然暴力乘是$o(n^2)$的，然而我們可以把他優化到$o(n\;log\;n)$
一般來將，多項式是用每一項的係數表示的，而還可以用點值來表示，比如乙個多項式$a$有n項,我們可以讓變數x取n個不同的值，然後用n個得出來的值表示這個多項式
由於是點值，兩個多項式相乘時只要把對應的點值相乘即可，這是$o(n)$的
顯然我們容易可以把兩個表示法互相轉換，比如$n^2$暴力和$n^3$高斯消元
這似乎比暴力還要不優越，所以我們要優化轉化表示法的複雜度
我們發現我們可以隨便選數x，只要x各不相同就行，然而當x在大部分取值時，都要暴力算$x^i$的值，這很不優越
所以我們的數學知識告訴我們數不只有實數，還有虛數啊懶得介紹虛數，我去拖一點東西過來
虛數大概就是可以表示在乙個復平面上的東西，k次單位根$w_k$就是其k次方是1的東西$w_k$的i次方都在乙個以原點為圓心，1為半徑的圓上
由於複數運算的種種性質（幅角相加，長度相乘），這些東西是繞原點順時針的，然後我們把i次單位根代入多項式來求值，這就是可以優化的了
然後我們就可以用分治來優化啦
把多項式分成奇數項和偶數項兩部分然後分治，就像這樣
愉快地盜了張圖來 原文
由於要按照奇偶性分治，分治後的順序會和原來不同，為了讓實現更方便，可以把原下標的二進位制翻轉後當新下標（不會證）
那麼我們就可以把係數表示變成點值表示了，這就是dft
然後怎麼把點值還原成係數呢，據說只要把點值除第一項的、部分翻轉，然後跑dft，再把結果除以n就好了（還是不會證）
大概就這樣吧我感覺講的海星
例題有這個(
模板)多項式乘法（fft）
ac**
#includeusingview codenamespace
std;
#define int long long
intn,m,i,j,len;
int w[5000000],f[5000000],g[5000000
];int rev[5000000],bit,ha=998244353
;inline
void getrev(int n)
int add(int x)
int jian(int x)
inline
int qpow(int a,intb);
return
ans;
}void fft(int *a,int n,int
x) }
int ni=qpow(n,ha-2
);
if(x)for(int i=0;iha;
}signed main()
fft還有模意義下的版本ntt
只要把單位根變成模數的原根就行了，一般都是3，如998244353（1e9+7不是ntt模數）
如果要求沒有原根的多項式乘法，可以用crt把有原根的答案結合起來
再來道例題
ac**
#includeusingview codenamespace
std;
#define int long long
intn,m,i,j,len;
int w[2100000],f[2100000],g[2100000
];int rev[2100000],bit,ha=998244353
;inline
void getrev(int n)
int add(int x)
int jian(int x)
inline
int qpow(int a,intb);
return
ans;
}void fft(int *a,int n,int
x) }
int ni=qpow(n,ha-2
);
if(x)for(int i=0;iha;
}signed main()
FFT學習筆記
fft可用於解決一些卷積問題。一般問題形式如下 c a b c i ij 0a i b i j 若把a，b看成兩個次數為n多項式 a x ni 0 a i xi,b x ni 0b i x i 原問題等於兩個多項式相乘，c的次數等於2n 1 乙個次數界為n的多項式a的點值表達為n個點值對所組成的集合...
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今天doggu講了，開始覺得這玩意好強啊 後來自己看的時候發現蠻zz wys表示 贊同 所以很多自己覺得遙不可及，一輩子都不可能學會的東西只要慢慢理解，理解好了再把他化為自己的語言，歸到自己的世界裡 就覺得不是很難了，甚至很簡單.當然開始並不是，從 好難啊 到 這麼簡單困大爺我這麼久，之前腦子抽了z...
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