p4948 題解報告
求\[\sum_^
\]的值，其中 \(n\le10^,k\le 2\times 10^3,a\le 10^9\) 。
本題在《具體數學》一書中有詳細的解法思路說明，可以在該書第二章 《和式》 中得到思路的啟發。
對這個式子進行擾動。
令\[s(k)=\sum_^
\]當 \(a= 1\) 時，有
\[s(k)=\sum_^ \\
=\sum_^(i+1)^k-(n+1)^k+1
\]根據二項式定理
\[(x+y)^k =\sum_^\cdot x^iy^}\]有
\[s(k)=\sum_^^\binom\cdot i^j}-(n+1)^k+1\\
=\sum_^\binom^i^j}-(n+1)^k+1\\
=\sum_^\binom-(n+1)^k+1
\]由於 \(\binom=1\) ，則
\[\sum_^}s(j)-(n+1)^k+1=0
\]由於\(\binom=k\) ，則
\[k\cdot s(k-1)=(n+1）^k-\sum_^s(j)-1}\\
s(k-1)=\frac^s(j)-1}}
\]令 \(t=k-1\) ，有
\[s(t)=\frac-\sum_^s(j)-1}}
\]把 \(k\) 換回來，有
\[s(k)=\frac-\sum_^s(j)-1}}\\
s(0)=n
\]這個式子可以 $o(k^2) $求。
s同理的考慮 \(a\not= 1\) ，則令
\[s(k)=\sum_^i^ka^i
\]可以解得
\[s(k)=\frac-a\sum_^s(j)-a}}\\
s(0)=\frac-a}
\]同理 \(o(k^2)\) 求解，該式和邊界情況留給讀者自證，方法類似。
#include#include#include#includeusing namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
const int k = 2e3 + 10;
int fc[k],fv[k],inv[k];
inline int ksm(int x,int y)
inline int c(const int x,const int y)
int f[k];
int n,a,k;
inline void init()
signed main()
} else
}cout << f[k] << endl;
return 0;
}
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