堆構造堆排序

堆和堆的構建

什麼是堆

堆是一種特殊的二叉樹，具備以下特性：

如果每個節點的值都大於等於左右孩子節點的值，這樣的堆叫大頂堆；如果每個節點的值都小於等於左右孩子節點的值，這樣的堆叫小頂堆。

上圖中，左側的堆是大頂堆，右側的堆是小頂堆，我們還可以得出這個結論：對應大頂堆，堆頂一定是最大值；對於小頂堆，堆頂一定是最小值。

如何構建堆

我們在介紹二叉樹的定義和儲存的時候說到，由於完全二叉樹的特殊性，可以通過陣列來儲存，堆也是完全二叉樹，所以我們完全可以通過陣列來儲存。在使用陣列儲存堆的時候，把第乙個索引位置留空，從第二個索引位置開始儲存堆元素，這樣，對於索引值為i的元素而言，其子節點索引分別為2i和2i+1。

下面我們就來看如何在堆中插入新節點，以大頂堆為例，從葉子結點插入，如果比父級元素大，則與父級元素交換位置，依次類推，直到到達根節點（小頂堆恰好相反）：

注：構建堆的過程叫堆化

實現**下面是對應的 php 實現**：

<?php 
class heap
public function insert($data)
$this->count++;
$this->a[$this->count] = $data;
$i = $this->count;
while (floor($i/2) > 0 && $this->a[floor($i/2)] < $this->a[$i]) 
return true;
}public function __tostring()
}

我們可以為這段**編寫一段測試**：

$heap = new heap();
$data = range(1, 10);
shuffle($data);
foreach ($data as $num) 
}print_r($heap);

列印結果如下，符合堆定義，表明堆構建成功：

堆排序及其應用

堆排序

但是這裡有乙個問題，每次從堆頂刪除元素後，需要從子節點中取值補齊堆頂，依次類推，直到葉子節點，就會致使儲存堆的陣列出現「空洞」：

解決辦法是將陣列中的最後乙個元素（最右邊的葉子節點）移到堆頂，再重新對其進行堆化：

這樣，就完美解決了「陣列空洞」的問題。

實現**

下面我們將堆排序過程轉化為對應的 php 實現**如下：

<?php 
class heap
public function insert($data)
$this->count++;
$this->a[$this->count] = $data;
$i = $this->count;
while (floor($i/2) > 0 && $this->a[floor($i/2)] < $this->a[$i]) 
return true;
}public function remove() 
if ($i*2 + 1 <= $this->count && $this->a[$i*2+1] > $this->a[$maxpos]) 
if ($maxpos == $i) 
$temp = $this->a[$i];
$this->a[$i] = $this->a[$maxpos];
$this->a[$maxpos] = $temp;
$i = $maxpos;
}return $removedata;
}public function __tostring()
}

我們可以結合堆化和刪除方法，寫一段測試**：

$heap = new heap();
$data = range(1, 10);
shuffle($data);
foreach ($data as $num) 
}$sorteddata = ;
while ($removeddata = $heap->remove()) 
print_r($sorteddata);

列印的結果如下：

說明堆排序成功，資料變成了從大到小的排序序列。

複雜度分析

我們先看時間複雜度，對堆排序而言，分為兩個階段，乙個是堆的構建，乙個是堆頂元素的刪除。對於n個節點的堆化而言，通過陣列儲存，對應的時間複雜度是o(n)，對於堆頂元素的刪除而言，需要遍歷n個節點，並且，每次刪除後需要重新堆化，對應的平均時間複雜度是o(nlogn)。所以綜合下來，堆排序的時間複雜度和快速排序、歸併排序一樣，是o(nlogn)。

堆排序的過程中，涉及到不相鄰元素的交換（刪除堆頂元素的時候），所以不是穩定的排序演算法。

我們在刪除堆頂元素的時候，使用了額外的儲存空間存放被刪除的堆頂元素，但是，我們也可以對這個過程進行優化，從而做到原地排序，感興趣的同學可以試試。

堆排序的應用

堆構造堆排序

排序 4 堆排序

排序二堆排序

排序七堆排序

堆 構造 堆排序

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排序二 堆排序

排序七 堆排序

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