堆與堆排序

堆排序與快速排序，歸併排序一樣都是時間複雜度為o(n*logn)的幾種常見排序方法。

堆排序是就地排序，輔助空間為o(1）。

它是不穩定的排序方法。（排序的穩定性是指如果在排序的序列中，存在前後相同的兩個元素的話，排序前和排序後他們的相對位置不發生變化）

先說說什麼是堆，堆通常是乙個可以被看做一棵樹的陣列物件。滿足下列性質：

1.堆中某個節點的值總是不大於或不小於其父節點的值；

2.堆總是一棵完全樹（完全樹就是葉結點僅在層次最大的兩層出現的樹）。

將根節點最大的堆叫做最大堆或大根堆，根節點最小的堆叫做最小堆或小根堆。常見的堆有二叉堆、斐波那契堆等。由於其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，一般將二叉堆就簡稱為堆。

堆的儲存

一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

堆的操作

建立堆：

一般情況下，樹並不滿足堆的條件，通過重新排列元素，可以建立一棵」堆化「的樹。如初始表：55 12 16，堆化後為：12 55 16。

堆的插入：

每次插入都是將新資料放在陣列最後。然後樹被更新以恢復堆次序。如初始表：12 22 7 ，插入新資料後，陣列為12 22 7 16，然後重排樹的順序，陣列為12 16 7 22。

可以發現從這個新資料的父結點到根結點必然為乙個有序的數列。

//  新加入i結點  其父結點為(i - 1) / 2
void minheapfixup(int a, int i)
a[i] = temp;
}

//在最小堆中加入新的資料nnum
void minheapaddnumber(int a, int n, int nnum)

堆的刪除

堆中每次都只能刪除第0個資料。為了便於重建堆，實際的操作是將最後乙個資料的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還**明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將乙個資料的「下沉」過程。

如初始表：12 16 50 22，刪除第0個資料後，陣列為22 16 50 _，然後重排樹的順序，陣列為16 22 50。

//  從i節點開始調整,n為節點總數 從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2
void minheapfixdown(int a, int i, int n)
a[i] = temp;
}//在最小堆中刪除數
void minheapdeletenumber(int a, int n)

堆化陣列

關於怎樣把乙個資料進行堆化。可能很多人會想，要乙個乙個的從陣列中取出資料來建立堆？不用。

比如說：int a[0] = ;

如果把這個陣列看成是一棵樹，那麼它的葉子結點19,59,64,3,18都分別是乙個合法的堆。只要把49開始向下調整就可以了。然後再取29，16，11，9結點分別作一次向下調整操作就可以了。

//建立最小堆
void makeminheap(int a, int n)

就這樣，堆的操作就全部完成了。

說了這麼多，終於到主角登場了。

根據堆的性質，堆建好之後。堆中第0個資料是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個資料又是堆中最小的資料，重複上述步驟直至堆中只有乙個資料時就直接取出這個資料。

由於堆也是用陣列模擬的，故堆化陣列後，第一次將a[0]與a[n - 1]交換，再對a[0…n-2]重新恢復堆。第二次將a[0]與a[n – 2]交換，再對a[0…n - 3]重新恢復堆，重複這樣的操作直到a[0]與a[1]交換。由於每次都是將最小的資料併入到後面的有序區間，故操作完成後整個陣列就有序了。

void minheapsorttodescendarray(int a, int n)
}

注意使用最小堆排序後是遞減陣列，要得到遞增陣列，可以使用最大堆。

應用：堆是一種經典的資料結構，向堆中插入、刪除元素時間複雜度都是 o(lgn)， n 為堆中元素的個數，而獲取最小 key 值（小根堆）的複雜度為 o(1)。

libevent中的定時事件管理就是用乙個以時間作為 key 的小根堆結構做的，放棄了原來的紅黑樹，大概就是堆比紅黑樹簡單吧。

參考：

堆與堆排序

堆與堆排序

堆與堆排序

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