有一張圓形的餐桌，這張餐桌有 2n2n
2n個座位。現在有 n
nn 對夫妻就坐，要求男士和女士隔位就坐，並且每對夫妻不能相鄰，求安排座位的方案數。
答案可能很大，請對 998244353
\rm 998244353
998244
353 取模。
3 ≤n
≤1e5
3\leq n\leq 1e5
3≤n≤1e
5.樣例輸入
3233 對夫妻就坐的情況，安排座位的方案如下圖所示：
我們先強制把某個女士認為是序列頭，然後拆環成鏈，只需要把最終答案數除以 n
nn 就行。
我們想想，毫無限制的座位安排有多少種？ (n!
)2(n!)^2
(n!)
2 ，分別任意安排男士和女士。
然後，我們來容斥。我們把每對夫妻坐一起看作是乙個條件，那麼先打出「板子」：
∑ i=
0n(−
1)i.
..\sum_^(-1)^i...
i=0∑n
(−1)
i...
右邊表示限定某i
\tt i
i個條件滿足的方案數，注意不是「有」 i
ii 個條件，因為這樣辦不到。
對於每個 i
ii ，我們首先得選出這麼 i
ii 對夫妻，然後他們之間有相對順序，用階乘：
∑ i=
0n(−
1)i⋅
i!⋅c
(n,i
)...
\sum_^n(-1)^i\cdot i!\cdot c(n,i)...
i=0∑n
(−1)
i⋅i!
⋅c(n
,i).
..難點來了，把這 i
ii 對夫妻安排在這個圓上，有兩種情況：
因此，把這兩者相加：
∑ i=
0n(−
1)i⋅
i!⋅c
(n,i
)⋅(c
(2n−
i,i)
+c(2
n−i−
1,i−
1)).
..\sum_^n(-1)^i\cdot i!\cdot c(n,i)\cdot\big( c(2n-i,i)+c(2n-i-1,i-1) \big)...
i=0∑n
(−1)
i⋅i!
⋅c(n
,i)⋅
(c(2
n−i,
i)+c
(2n−
i−1,
i−1)
)...
剩下的沒被選的男士女士們分別隨便排，答案就是：
∑ i=
0n(−
1)i⋅
i!⋅c
(n,i
)⋅(c
(2n−
i,i)
+c(2
n−i−
1,i−
1))⋅
((n−
i)!)
2\sum_^n(-1)^i\cdot i!\cdot c(n,i)\cdot\big( c(2n-i,i)+c(2n-i-1,i-1) \big)\cdot \big((n-i)!\big)^2
i=0∑n
(−1)
i⋅i!
⋅c(n
,i)⋅
(c(2
n−i,
i)+c
(2n−
i−1,
i−1)
)⋅((
n−i)
!)2
最後別忘除以 n
nn 。
預處理階乘法求組合數，再列舉，時間複雜度 o(n
)o(n)
o(n)
。
#
include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
#define
maxn
100005
#define
lllong
long
#define
dbdouble
#define
endl
putchar
('\n')#
define
lowbit
(x)(
-(x)
&(x))#
define
fifirst
#define
sesecond
ll read()
while
(s >=
'0'&& s <=
'9')
return f*x;
}void
putpos
(ll x)
void
putnum
(ll x)
const
int mod =
998244353
;int n,m,s,o,k;
int fac[maxn<<2]
,inv[maxn<<2]
,invf[maxn<<2]
;intc(
int n,
int m)
intmain()
int ans =0;
for(
int i =
0;i <= n;i ++
) ans = ans *
1ll* inv[n]
% mod;
printf
("%d\n"
,ans)
;return0;
}
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