擴充套件歐幾里得和同餘

bézout's identity（裴蜀定理）：給予二整數 $a$ 與 $b$, 必存在有整數 $x$ 與 $y$ 使得$ax + by = gcd(a,b)$。

擴充套件歐幾里得演算法：給予二整數 $a$ 與 $b$, 必存在有整數 $x$ 與 $y$ 使得$ax + by = gcd(a,b)$。有兩個數$a,b$，對它們進行輾轉相除法，可得它們的最大公約數——這是眾所周知的。然後，收集輾轉相除法中產生的式子，倒回去，可以得到$ax+by=gcd(a,b)$的整數解。

1
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)28
int d = exgcd(b, a %b, y, x);
9     y -= a / b *x;
10return
d;11 }

①當$b = 0$的時候，$ax = gcd(a, 0) = a$。所以這時候取$x = 1, y = 0$即可，並將a返回。

②這裡取個巧將$x, y$交換一下位置，公式變為$by + (a mod b)x = d$。($d$為$gcd(a,b)$)

$by + (a\;mod \; b)x = d \leftrightarrow by +(a - \lfloor \frac \rfloor b)x = d\leftrightarrow ax+b(y-\lfloor \frac \rfloor x) = d$

同餘方程：

$ax\equiv b\left ( mod\;m \right )\leftrightarrow ax = my + b\leftrightarrow ax - my = b\leftrightarrow ax+my' = b$

該公式有解的條件就是$b\; mod\; d == 0$。其中$d$是$gcd(a, m)$,即$b$是最大公約數的倍數就有解，否則無解。

acwing 202.最幸運的數字

由題目，

$l\mid 88\cdot \cdot \cdot 8\leftrightarrow l\mid 8*11\cdot \cdot \cdot 1\leftrightarrow l\mid8*\frac\leftrightarrow l\mid 8*\frac-1}

\leftrightarrow \frac\mid -1}$，其中$d = gcd(l,8)$，意義為兩邊都除去8的質因子。如果左邊沒有，就不除，而右邊除掉後依舊等價。

將$\frac$看做乙個常數$c$,轉換為求乙個最小的$x$使得$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$

由尤拉定理，有$a^\equiv 1\left ( mod\;n \right )$,其中滿足$gcd(a,n)= 1$。

首先，$10$和$c$必然互質，否則餘數不可能為$1$, 所以如果$10$和$c$不互質，無解。

其次，我們可以知道所求的$x$必然是$phi(c)$的乙個約數。

證明：假設$x$是滿足$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$的最小數且不是$phi(c)$的約數，而尤拉定理也滿足$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$，那麼設$phi(c) = qx + r, 0有$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$,因為$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$，所以$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$，所以得出$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$,就找到了乙個比$x$更小的滿足$10^\equiv 1\left ( mod\;c \right )$的數，矛盾，所以$x$一定是$phi(c)$的乙個約數。

又因為$x$要取最小，所以$x$一定是$phi(c)$的最小約數。

所以本題需要求尤拉函式，求出$c$的尤拉函式，對其約數進行列舉，然後用快速冪判斷。

需要注意的是，該題的資料很大，相乘過程中會爆掉long long，所以快速冪進行相乘的時候要使用龜速乘，防止溢位。

1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5
6using
namespace
std;
78 typedef long
long
ll;9
10ll qmul(ll a, ll b, ll c)
1119
return
res;20}
2122
ll qmi(ll a, ll b, ll c)
2331
return
res;32}
3334
ll get_euler(ll n)
3544}45
if(n > 1)res = res / n * (n - 1
);46
return
res;47}
4849
intmain()
73         printf("
case %d: %lld\n
", t ++, res);74}
7576
77return0;
78 }

中國剩餘定理：

$m_1,m_2,m_3,m_4,\cdot \cdot \cdot m_k$兩兩互質。

$\left\x\equiv a_1\left ( mod\;m_1 \right )

& \\ x\equiv a_2\left ( mod\;m_2 \right )

& \\ x\equiv a_3\left ( mod\;m_3 \right )

& \\ \cdot \cdot \cdot

& \\ x\equiv a_k\left ( mod\;m_k \right )

& \end\right.$

$m = m_1m_2m_3\cdot \cdot \cdot m_k$

$m_i = \frac, t_i$是$m_i$模$m_i$的逆

即$m_i*t_i\equiv 1\left ( mod\;m_i \right )$

$x=a_1\cdot m_1\cdot t_1+a_2\cdot m_2\cdot t_2+a_1\cdot m_3\cdot t_3+\cdot \cdot \cdot +a_k\cdot m_k\cdot t_k$

acwing 1298.曹沖養豬

由題，$x\equiv b[i]\left ( mod \;a[i] \right )$

答案$x=b[1]\cdot m_1\cdot t_1+b[2]\cdot m_2\cdot t_2+b[3]\cdot m_3\cdot t_3+\cdot \cdot \cdot +b[k]\cdot m_k\cdot t_k$

其中，$m = a[1]* a[2]* a[3]\cdot \cdot \cdot a[k],m_i = \frac$。

所以現在需要求得$t_i$,由 $m_i*t_i\equiv 1\left ( mod\;a[i] \right )\leftrightarrow m_i*t_i - a[i]*x = 1\leftrightarrow m_i*t_i+a[i]*x' = 1$,通過拓展歐幾里得演算法，可求出$t_i$。

迭代到最後求得答案。

1 #include 2 #include 3
4using
namespace
std;
56 typedef long
long
ll;7
8const
int n = 11;9
10int
a[n], b[n];
11int
n;12
13 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
1420     ll d = exgcd(b, a %b, y, x);
21     y -= a / b *x;
22return
d;23}24
25int
main()
3334     ll res = 0;35
for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
3642
43     cout << (res % m + m) % m <44return0;
45 }

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