唯一分解定理與尤拉函式

算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。例如:

簡而言之，唯一分解定理就是說任意乙個大於1的自然數都可以寫為幾個素數的冪的乘積。記住這個就足夠了（不困難嘛）。

在簡單的了解了唯一分解定理後，思考乙個問題，如何求小於等於n的自然數中與n互質的數的數量（好繞口），簡單說就是，在[1,n]區間中與n互質的數有多少個（這下好多了），尤拉函式就是這個東西了，

表示在[1,n]區間中與n互質的數的數量。既然我們前面講了唯一分解定理，那麼通過直覺可以證明（無視這句）尤拉函式與唯一分解定理有關。我們來考慮乙個例子，對於整數n=360，將其分解得到

可知2,3,5都是360的素因子。在[1,360]這個區間中，2,3,5都是360的素因子，必然是360的約數，所以2的倍數，3的倍數，5的倍數都是360的約數，[1,360]中2的倍數有360/2個，3的倍數有360/3個，5的倍數有360/5，這些數都不可能與360互質，所以有

=360-360/2-360/3-360/5。看上去是對的，但是很遺憾，360-360/2-360/3-360/5=-12，是乙個明顯不正確的負數，為什麼會這樣呢，我們考慮這樣的幾個數：6,10,15，6在作為2的倍數時已經減過一次了，但是作為3的倍數的時候又被減了一次，多減了一次，10也同樣，作為2,5的倍數被減了兩次，像這樣的數一共有360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5)個，為了體現公平公正的原則（無視這句），我們要將多減的這一次加回來，所以

=360-360/2-360/3-360/5 + 360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5) = 108，這下結果是正數了，總應該對了吧，but(最討厭但是了)，來考慮一下30這個數，他在作為2,3,5的倍數的時候被減了3次，又在作為6,10,15的倍數的時候被加了三次，總結起來就是根本沒把他算上嘛！為了體現公平公正的原則（夠了！），我們要把他和他的倍數計算在內，即：

=360 -360/2-360/3-360/5 + 360/(2*3)+360/(2*5)+360/(3*5) –360/(2*3*5) = 96.終於正確了！

剛剛360只是3個質因子的冪的乘積，但是如果有更多的分解的質因子呢，當然就要反覆的如上考慮了（不過會複雜一點），其實剛剛說了這麼多，其實都是屬於乙個叫做容斥原理對於正整數的唯一分解式：

有以上就是高大上的定義，但是如此高階的東西顯得太平易近人了，雖然完全不明顯，但是這個高大上的玩意兒是可以轉化成

雖然中間的過程並不好理解，但是我們通過這乙個簡潔的式子是可以用感性的方法去理解的，對於任意乙個素因子p，我們可以選著選他或者不選他，選的話就相當於選了-1/p作為展開式其中一項的因數，不選的話就相當於用1作為其中一項的因數（即沒有影響）。

有了簡化的公式，尤拉函式的程式實現就變得非常的簡單了，注意我沒有先生成n的唯一分解，而是邊分解邊計算結果，下面是**

int euler_phi(int n)
if(n>1)ret=ret/n*(n-1);//n可能也是質數 
return ret;
}

如果要求1~n所有數的尤拉函式值，就需要用到類似於篩素數的思想了，給**：

const int maxn=100+10;
int phi[maxn];//儲存結果 
void phi_table(int n)
}

標籤: 數學,尤拉函式,唯一分

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