大數素性檢測

大數的素性檢測可以分為確定性的素性檢測和概率性的素性檢測

確定性的素性檢測在小整數的素性檢測中雖然已經夠用，但是在大整數的素性檢測中，這些演算法明顯複雜度大大增加，所以人們又尋找到了更加高效的概率性素性檢測來尋找大素數。

這裡僅僅舉出比較常見或者比較著名的素性檢測方法。

1.廣義歐幾里得定理素性檢測

\[\forall n\in n^,如果對所有i\le\sqrt,i\in n^,滿足i\not\mid n，則n為素數。。

\]想法

對於這個素性檢測的一種優化是i可以換作小於n的平方根的素數，因為小於n的平方根的數都有素因子，所以可以優化，但是這種優化僅僅對於小整數而言好用。

這裡的時間複雜度仍然是指數級的，但是我們期望能夠有多項式級的演算法，幫助我們高效進行素性檢測。

時間複雜度

\[o(2^)

\]2.lucas–lehmer素性檢驗(用於梅森數的檢驗)

\[梅森數是形如2^-1的數，記為m_n;若其為素數，則稱之為梅森素數。

\]並且當n為合數時，梅森數也為合數；當n為素數是，梅森數不一定都是素數

\[\begin

&1.定義序列 s_,i>0\\

&2.s_i=4,i=0;\\

&3.s_i=s_^2-2,i>0\\

&4.那麼m_n為素數當且僅當s_ \equiv0(modm_n)\\

&5.否則m_p為合數\\

&6.時間複雜度o(n^)

\end

\]想法

這裡的確定性演算法雖然時間複雜度很低，但是僅僅適用於梅森數的檢驗，十分具有侷限性，但是對於大素數的尋找很有幫助，最近幾個最大素數便是該演算法尋找到的。

在這個結論的證明中，因為這是個序列，所以自然而然想到用數學歸納法，但是其中構造的方法頗為巧妙，構造一對

\[}=(2+})(2-})=1}

\]用於證明每個si都滿足

\[=\omega ^}+}^}}

\]證明充分性時，運用了反證法，再引入群的概念，通過群元素的階和素因子的性質匯出矛盾。

證明必要性時，運用了二次剩餘，尤拉準則，費馬小定理以及初等群論等來證明。

同樣的，也有同型別的素性檢測，pepin測試，但是它也僅適用於費馬數，這樣的侷限性過於致命。

3.aks素性測試(僅了解)

想法這是最為著名的確定性素性測試，因為它的出世成功使素數判定的時間複雜度降到了多項式複雜度，並且沒有依賴任何未得到證明的猜想。

該證明涉及費馬小定理，群、環和域等知識，中間具體內容本人難以理解。

aks素性測試主要是基於以下定理

\[(x+a)^n\equiv(x^n+a)(mod x^,n)

\]具體計算中可以使用貝祖定理進行公約數的計算。

演算法操作：

\[\begin

&1.輸入：整數 n > 1\\

&2.若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n = ab ；則輸出合數\\

&3.找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n).\\

&4.若對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出合數。(gcd是指最大公約數)。\\

&5.若 n ≤ r, 輸出素數。\\

&6.對 a = 1 到 }\log(n)\scriptstyle \rfloor }\scriptstyle \lfloor \scriptstyle }\log(n)\scriptstyle \rfloor 的所有數，

如果 (x+a)n≠ xn+a (mod xr − 1,n), 輸出合數。\\

&7.輸出素數。

\end

\]1.費馬素性檢驗（主要找課外知識）

想法這個素性檢驗是根據費馬小定理的逆定理來篩選大素數的。

\[如果p是素數，，那麼a^}\equiv 1}

\]但是由於其逆定理並不正確，對於卡麥可數即滿足費馬小定理的逆定理但是不為素數的數，雖然卡麥可數很少，在1~100000000範圍內的整數中，只有255個卡麥可數，但是已經使他的效果落後於miller-rabin和solovay-strassen素性檢驗。

\[\begin

&1.輸入：n\ge3；k：引數之一來決定檢驗需要進行的次數。\\

&2.輸出：當n是合數時，否則可能是素數：\\

&3.重複k次：\\

&在[2, n − 2]範圍內隨機選取a\\

&如果a^ mod n ≠ 1那麼返回合數\\

&返回可能是素數

\end

\]出錯的概率

在選取底數a時，有二分之一的概率出錯，但是可以通過多次選取底數來使出錯概率降下期望值。

\[在重複k次成立的情況下，n為合數的可能性小於\frac

\]突破

2023年，我國物流工人提出了卡麥可數判別準則，

\[\begin

&n=(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)=5832^4+2592k^3+450k^2+36k+1\\

&(n-1)/(6k)=972k^3+432k^2+75k+6\\

&(n-1)/(18k)=324k^3+144k^2+25k+2\\

&(n-1)/(54k^2+12k)=108k^2+24k+3

\end

\]如果6k+1,18k+1,54k^2+12k+1都是素數(比如k=1，2)，那麼n必然是卡麥可數,與先前的判別法相比，這個公式的亮點就是新發現的二次式也可以作為卡麥可數因子。

時間複雜度

\[o(k×log3n)

\]2.尤拉-雅克比偽素數和solovay-stassen素性檢驗（主要找課外知識）

想法在模平方剩餘判別時，尤拉判別法則要求模為奇素數，但是雅克比符號弱化了這樣的條件，只要求模為奇整數，這樣的變化可以用於判斷模平方剩餘，但是和尤拉定理不能等價，於是會存在偽素數。

尤拉偽素數:

設n為正奇合數，設整數b與n互素。如果整數n和b滿足條件

\[b^}\equiv(\frac)(modn)

\]則n叫做對於基b的尤拉-雅克比偽素數。

solovay-stassen演算法：

\[\begin

&1.輸入：n，乙個值以測試素性

k，其確定測試的準確性的引數\\

&2.輸出：n是合數，否則可能是素數\\

&3.重複k次：在 [2, n − 1]\\

&範圍內隨機選擇乙個}\right)} \\

&如果 x = 0 或 \not \equiv x}} \\

&然後返回合數\\

&否則返回可能是素數

\end

\]出錯的概率

所有尤拉-雅克比偽素數同時是費馬偽素數，這個判別公式對所有素數都成立，因而可以用於概率素性檢驗，他的可靠性是費馬素性檢驗的兩倍多。

時間複雜度

\[o(k·log3 n)

\]3. miller-rabin素性檢驗（主要找課外知識）

想法素性檢測首先利用了因數分解式，將冪次n-1降低為以2為階的各次冪，再利用中國剩餘定理，推出強偽素數的滿足條件，在演算法優化中，採用模平方演算法降低複雜度，這也是該演算法的優勢之一，大大提高了效率。

\[\begin

&給定奇整數n\ge3和安全引數k\\

&寫n-1=2^st,其中t為奇整數\\

&1.隨機選取整數b，2\le b \le n-2\\

&2.計算r_0\equiv b^t(modn)\\

&3.\\&（1）如果r_0=1或r_0=n-1,則通過檢驗，回到第一步，重選b\\

&（2）否則有r_0\neq1以及r_0\neq n-1,計算r_1\equiv r_0^2(modn)\\

&以此類推,直到n-2為止，通過檢驗則輸出可能為素數，否則為合數

\end

\]出錯的概率

\[在k次檢測通過的情況下，n為合數的概率小於\frac

\]相比之下，這樣的出錯概率遙遙領先與費馬素性檢測和solovay-stassen素性檢測。

時間複雜度

模平方演算法下

\[n)}

\]大數素性檢測的發展，從最初的基於單一定理進行窮舉檢測，到特殊素數的檢測，再到一般素數的綜合檢測，一步一步從複雜到簡單，從特殊到一般；不僅如此，由於素數的重要性，人們更追求在更短時間內判定出素數，通過弱化某些條件或者尋找某些定理逆命題的可靠性，來概率性地判別素數，在概率性素數檢測發展中，miller-rabin最為著名，也是由於他能夠採用更加優良的模平方演算法，大大降低了演算法複雜度，使大數素數的判定速率有了質的飛躍。

數學家們至今仍然在素性檢測的山峰上攀登，在學習過程中，我尋找到了不少基於黎曼猜想的素性檢測，由於黎曼猜想並未完全被證明，這些素性檢測便仍然有很大的侷限性。

各個素性檢測各有優勢，對待不同的檢測要求，大數範圍，選取的素性檢測也不同。素性檢測在對應的場景，經過人工的除錯，能夠發揮更大的作用，比如概率性檢測的安全引數k便可以根據要求而改變。

大數素性檢測

生成大素數 python實現 ,包含素性檢測

Miller Rabin素性測試

MR素性探測

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