主要是寫這個部落格用來記錄自然數冪和與伯努利數的關係
伯努利數定義如下
\[b_0=1
\]\[\sum_^nb_ic_^i=0
\]於是我們有了它的遞推式
\[b_n=-\frac\sum_^b_ic_^i
\]有乙個經常用的東西，用來求自然數冪和
\[s_m(n)=\sum_^i^m
\]\[s_m(n)=\frac\sum_^c_^b_i(n+1)^
\]上面的式子是真式子，網上還有一些是這樣寫的
\[s_m(n)=\frac\sum_^c_^b'_in^
\]注意這裡的\(n\)沒有\(+1\)，然而這裡的伯努利數也不是原來的了
這個好像有乙個啥深妙的推算，\(b'\)和\(b\)只有一項不同，就是\(b'_1=b_1+1\)
參考文章1
參考文章2
學習筆記 伯努利數
b n n 0 frac 1 sum binom i b i 同時有 hat x sum b i frac frac x 所以可以使用多項式求逆求出伯努利數。設自然數冪和函式 s k n sum i k 那麼有 s k n frac 1 sum k binomi b i n 設 hat n x su...
伯努利數簡單學習筆記
我們常用bib i 定義第i i個伯努利數。生成函式定義方式 ze z 1 n 0 bnz nn e z 1z n 0 bn n zn 這裡的z c z c c c為複數域 由於伯努利數是指數型函式的母函式，所以我們對exe x進行泰勒展開即可得到。前99 項伯努利數 b0 1b1 12 b2 1 ...
伯努利數學習筆記
定義伯努利數列 b n 滿足 b 0 1,sum nb i 0 n 0 可以發現定義式裡面包含了 b n 這一項，於是把 b n 提出來 b n sum b i n 1 b n sum b i b n frac sum b i 直接用定義式求是 o n 2 的複雜度 把定義式的迴圈上界減一，得 su...