表示n個帶標號元素劃分為m個圓排列（圓排列本身之間不可區分）的方案數。
\[\left[ n\atop m\right]= \left[ n-1\atop m-1\right]+(n-1) \left[ n-1\atop m\right]\\
x^}=\sum_^n\left[n \atop i \right]x^i\\
n!=\sum_^\left[ n \atop i \right]\\
\]表示n個帶標號元素劃分進m個集合（集合本身之間不可區分）的方案數。
\[\left\=\left\+m\left\
\]上式為定義式。
\[\left\=\frac\sum_^(-1)^\binom(m-i)^n ...... (1)\\
\]上式可用容斥得到。就是列舉有多少個集合是空集，剩下的集合不管是不是空集隨便放。
\[\left\=\sum_^m\frac\times\frac\\
\]上式是(1)的變形，可以使用卷積求出n一定m不同（一行）的第二類斯特林數。
\[x^n=\sum_^n\left\ i! \left( x\atop i\right) =\sum_^n\left\x^\underline\\
\]上式為乙個定理，證明就是把(1)式直接進行二項式反演即可。
表示n個帶標號元素劃分進若干個集合（集合本身之間不可區分）的方案數。
\[bell(n)=\sum_^ \left\\\
bell(n+1)=\sum_^n\binombell(k)\\
\]注：部分推導思路參考於yyb巨佬的部落格和judge巨佬的部落格
\[\sum_^ \binom b_i=0 ,~~ n>0 (b_0=1)\\
b_n=-\frac\sum_^b_i\binom, (n>0)\\
\]定義式以及遞推式。然後有如下推導可得伯努利數egf：
\[b_n=\sum_^n\binomb_i\; ,\; (n>1)\\
\frac=\sum_^(\frac\times\frac)\\
\sum_^\frac=\sum_^ \sum_^(\frac\times\frac)\\
\sum_^(\frac+[i=1])=\sum_^ \sum_^(\frac\times\frac)\\
\sum_^(\frac+[i=1])x^i=\sum_^ x^i\sum_^(\frac\times\frac)\\
x+\sum_^\fracx^i=\sum_^ x^i\sum_^(\frac\times\frac)\\
x+b(x)=b(x)e^x\\
b(x)=\frac
\]以下是對乙個常見定理的表述:
\[\sum_^i^k=\frac\sum_^k\binomb_i n^
\]證明如下。我們令冪和的egf為\(a(x)=\sum_^\frac\sum_^j^i\)。此處為yyb大佬的神仙推導。
\[\begin
a(x)&=\sum_^(\sum_^j^i)\frac=\sum_^\sum_^j^i\frac\\
&=\sum_^e^=\frac-1}\\
&=b(x)\frac-1}
\end
\]然後展開：
\[\begin
a(x)&=b(x)\frac-1}\\
&=b(x)\frac^n^i\frac}......(1)\\
&=b(x)\sum_^n^\frac\\
&=\sum_^\sum_^b_j\fracn^\frac}\\
&=\sum_^\frac\sum_^\fracb_jn^\\
&=\sum_^\frac\frac\sum_^\binomb_jn^\\
\end\\
\therefore \sum_^i^k=\frac\sum_^\binomb_in^\\
\]小思考：\((1)\)式分子可以用組合意義展開再用二項式定理合併係數。
斯特林數和貝爾數
版權說明 抄寫了hypoc的部落格 符號 beginn m end 或 s n,m 意義 n 個不同球穿成 m 條項鍊的方案數。第 n 個球接在前面 n 1 個小球中某乙個的後面或新開一條項鍊。遞推式 s n,m n 1 s n 1,m s n 1,m 1 複雜度 o nm 考慮生成函式優化。第 i...
關於伯努利數
主要是寫這個部落格用來記錄自然數冪和與伯努利數的關係 伯努利數定義如下 b 0 1 sum nb ic i 0 於是我們有了它的遞推式 b n frac sum b ic i 有乙個經常用的東西，用來求自然數冪和 s m n sum i m s m n frac sum c b i n 1 上面的式...
HDU 2512 （斯特林數，貝爾數）
題目意思 給你n個數，讓你組成從1 n個不重集合的組合數目是多少？題解思路 知識點 組合數學中的第二斯特林數，貝爾數 注意，在這道題裡，i要從1開始，接下只要先求s2 0，0 s2 2000,2000 之後逐次累加到bell n 即可 include define register int rint...