伯努利數是由如下隱式遞推關係確定的乙個數列
\[\begin\\\sum_^ i}b_i=[m=0],\end
\]改寫上式得
\[\sum_^\frac\frac=\frac+\frac,
\]設伯努利數的 egf 為 \(b(x)\)，那麼
\[b(x)e^x=x+b(x),
\]解得
\[b(x)=\frac.
\]定義 \(0^0=1\)，並設
\[s_m(n)=\sum_^i^m,
\]我們斷言
\[s_m(n)=\frac\sum_^i}b_n^i,
\]為此我們考慮 \(s_m(n)\) 的 egf
\[\begin\sum_\frac&=\sum_\frac\sum_^i^m\\&=\sum_^\sum_\frac\\&=\sum_^e^\\&=\frac-1},\end
\]發現最後那個分式和伯努利數的 egf 有點像，我們把它寫成
\[\frac-1}=\frac×\frac-1},
\]這樣又可以推了
\[\sum_\frac=\sum_\frac\sum_\fracx^},
\]提取一下係數
\[\begin\left[\frac\right]\sum_\frac&=m!\sum_^m\frac\frac}\\&=\frac\sum_^m i}b_in^\\&=\frac\sum_^ i}b_n^i,\end\]即
\[s_m(n)=\frac\sum_^ i}b_n^i.
\]
從伯努利數到自然數冪和
伯努利數是定義在實數上的乙個數列，其在 rm oi 中的用處大多都是處理自然數冪和。我們定義伯努利數 b i 滿足 b 0 1,sum binomb i 0 n 0 那麼易得 b 0 1,b 1 frac,b 2 frac,b 3 0,b 4 frac,b 5 0,注意到奇數字除了 b 1 都為 0...
學習筆記 伯努利數
b n n 0 frac 1 sum binom i b i 同時有 hat x sum b i frac frac x 所以可以使用多項式求逆求出伯努利數。設自然數冪和函式 s k n sum i k 那麼有 s k n frac 1 sum k binomi b i n 設 hat n x su...
伯努利數簡單學習筆記
我們常用bib i 定義第i i個伯努利數。生成函式定義方式 ze z 1 n 0 bnz nn e z 1z n 0 bn n zn 這裡的z c z c c c為複數域 由於伯努利數是指數型函式的母函式，所以我們對exe x進行泰勒展開即可得到。前99 項伯努利數 b0 1b1 12 b2 1 ...