懸線法有套路的DP

例題 p1169 [zjoi2007]棋盤製作

西洋棋是世界上最古老的博弈遊戲之一，和中國的圍棋、象棋以及日本的將棋同享盛名。據說西洋棋起源於易經的思想，棋盤是乙個8×88 \times 88×8大小的黑白相間的方陣，對應八八六十四卦，黑白對應陰陽。

而我們的主人公小q，正是西洋棋的狂熱愛好者。作為乙個頂尖高手，他已不滿足於普通的棋盤與規則，於是他跟他的好朋友小w決定將棋盤擴大以適應他們的新規則。

小q找到了一張由n×mn \times mn×m個正方形的格仔組成的矩形紙片，每個格仔被塗有黑白兩種顏色之一。小q想在這種紙中裁減一部分作為新棋盤，當然，他希望這個棋盤盡可能的大。

不過小q還沒有決定是找乙個正方形的棋盤還是乙個矩形的棋盤（當然，不管哪種，棋盤必須都黑白相間，即相鄰的格仔不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盤面積和最大的矩形棋盤面積，從而決定哪個更好一些。

於是小q找到了即將參加全國資訊學競賽的你，你能幫助他麼？

輸入格式：

包含兩個整數nnn和mmm，分別表示矩形紙片的長和寬。接下來的nnn行包含乙個n ×mn \ \times mn×m的010101矩陣，表示這張矩形紙片的顏色（000表示白色，111表示黑色）。

輸出格式：

包含兩行，每行包含乙個整數。第一行為可以找到的最大正方形棋盤的面積，第二行為可以找到的最大矩形棋盤的面積（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

審題可以發現，我們所以尋找的最大矩形其實已經含有正方形，所以不需要單獨去尋找，但是當時我只想到如何dp求正方形，所以分開寫了；

這裡就引進乙個概念——懸線法

求滿足條件的最大矩形或正方形

通過不斷更新矩形左右端點所能到達的距離（1

：初始化；2：dp中更新）

left [ i ] [ j ] 陣列更新包含第（i，j）點的最左能到達距離；

right [ i ] [ j ] 陣列更新包含第（i，j）點的最右能到達距離；

up [ i ] [ j ] 陣列更新包含第（i，j）點的向上能到達的距離；

ps：為什麼沒有下？因為down可以在dp中用up代替；

1：初始化 left 和 right 陣列

for(int i=1;i<=n;i++)
//右端點從右往左更新 
for(int j=2;j<=m;j++)
//左端點從左往右更新 
}

2：dp更新 up 陣列和 left，right 陣列

for(int i=1;i<=n;i++)
int a=right[i][j]-left[i][j]+1
;            
int b=min(a,up[i][j]);
ans1=max(ans1,b*b);//
正方形做法2 
ans2=max(ans2,a*up[i][j]);
}}

思考：該方法的正確性，因為每個點都取到了一次，每次選取最優解，則正解定會取到

完整code（附有正方形另類做法）

#include#define maxn 2007
using
namespace
std;
intn,m,maps[maxn][maxn],ans1;
intf1[maxn][maxn],ans2,up[maxn][maxn];
intleft[maxn][maxn],right[maxn][maxn];
int min(int a,int b)
int max(int a,int b)
void
cube()
else
ans1=max(f1[i][j],ans1);}}
ans1*=ans1;
}int
main()
}cube();
//正方形的做法1 
for(int i=1;i<=n;i++)
//右端點從右往左更新 
for(int j=2;j<=m;j++)
//左端點從左往右更新 
}    
for(int i=1;i<=n;i++)
int a=right[i][j]-left[i][j]+1
;            
int b=min(a,up[i][j]);
ans1=max(ans1,b*b);//
正方形做法2 
ans2=max(ans2,a*up[i][j]);}}
printf(
"%d\n%d\n
",ans1,ans2);
return0;
}

總結與反思；正確靈活使用，可以快速解決問題；

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