DP小技巧懸線法

本來以為之前寫過這個方法，今天又考了一道模板題，於是就記錄一下

懸線法是求解一類極大子矩陣問題的dp解法（maybe）

考試有人想出了\(o(n^2log^2n)\)的二分套二分做法，在此表示膜拜（即二分面積，列舉面積的約數）

從暴力方面想，對於乙個點，直接求出它向左右上的最遠距離再乘起來可能不對，所以只能求其中乙個的最遠距離

具體來說，定義\(u_\)表示從\((i,j)\)向上走能走出的最遠距離，\(l,r\)必須受到\(u\)的約束，所以定義為滿足\(u\)最大，矩陣合法的條件下可以向左/右走到的最遠點，那麼\(ans=max(u_*(r_-l_+1))\)

形象來看，可以理解為以\((i,j)\)這個點為下端的連續的1組成的一根豎線，這根線左右移動所形成的矩形區域即這個點對應的矩形，這些矩形面積的最大值即為答案

顯然\(u,l,r\)三個陣列可以\(o(n^2)\)遞推（見**），正確性：1.由上面的定義可知，所有的矩陣合法（是子矩陣） 2.最大的矩陣中一定存在一根等於矩形高度的懸線（該線可以左右移動形成該矩陣），如果不存在，即所有的懸線都比該矩陣高，那顯然它不是最大矩陣

#include#define n 1005

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

using namespace std;

int n,m,a[n][n],ans;

int up[n][n],l[n][n],r[n][n];

template void read(t &x)

int main()

} for(int i=1;i<=n;++i)

for(int j=2;j<=m;++j)

if(a[i][j]&&a[i][j-1])

l[i][j]=l[i][j-1];

for(int i=1;i<=n;++i)

for(int j=m-1;j>=1;--j)

if(a[i][j]&&a[i][j+1])

r[i][j]=r[i][j+1];

for(int i=1;i<=n;++i)

ans=max(ans,(r[i][j]-l[i][j]+1)*up[i][j]);

} }cout《習題：玉蟾宮（其實就是例題），棋盤製作（強行將高和寬取\(min\)即可保證為正方形）

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