一、極限 (每小題7分,共28分)
1.$\displaystyle \lim\limits_ e^\left(1+\frac\right)^}$
2.$\displaystyle \lim\limits_ ne^}-n^\ln (1+\frac)$
3.$\displaystyle \lim\limits_\left(n!\right)^}}$
4.$\displaystyle \lim\limits_\frac}}}[x+\ln(1-x)]}$
二、計算或證明下列各題(每小題10分,共60分) .
1.當$x\le 0$時,$f(x)=1+x^$;當$x>0$時,$f(x)=xe^$.求$\displaystyle \int_^f(x-2)dx$.
2.設$\displaystyle f'(2^)=x2^,f(1)=0$,求$f(x)$.
3.計算曲面積分$\displaystyle i= \iint\limits_(x+y+z)ds$,其中曲面$s=\\mid
x^+y^+z^=a^,z\ge 0\}$
4.計算曲線積分$\displaystyle i=\int\limits_\left(\varphi (y) e^-my\right)dx+\left(\varphi '(y)e^-m\right)dy$.其中$\varphi (y)$、$\varphi '(y)$為$r$上的連續函式,$amb$為連線點$a(1,2),b(3,4)$的任意路徑(方向從a到b),但它與直線$ab$圍成的區域面積為定值$p(p>0)$.
5.計算曲面積分$\displaystyle i=\iint\limits_\left( x^ \cos \alpha +y^\cos \beta +z^\cos \gamma \right)ds$,其中$s$為圓錐面$x^+y^=z^,0\le z \le h,\cos \alpha ,\cos\beta ,\cos \gamma$為該曲面的外法向量$\overrightarrow$的方向余弦.
6.函式$z=z(x,y)$具有二階連續偏導且滿足方程
$$q(1+q)\frac z}}-(1+p+q+2pq)\frac z}+p(1+p)\frac z}}=0$$
其中$\displaystyle p=\frac,q=\frac$.假設$u=x+y,v=y+z,w=x+y+z$之下,證明:
$$\displaystyle \frac w}=0$$
三、(本題10分) 設$f(x)$在$[0,1]$上具有連續導數,證明:
$$\lim\limits_n\int_^x^f(x)dx=f(1)$$
四、(本題10分) 設$f(x)$在$(a,b)$內二階可微,證明:存在$c\in (a,b)$使得$$f(a)-2f\left(\frac\right)-f(b)=\frac}f''(c)$$
五、(本題10分) 設$f(x)$在$(a,b)$內具有連續導數且$f(a)=f(b)=0$,證明:$$\max\limits_\left|f'(x)\right| \ge \frac}\int_^\left| f(x)\right| dx.$$
六、(本題12分) (題誤)設$x>0,y>0,z>0$,證明:$$3\left(x+y+z+\frac\right)^\le \left(x+\frac\right)^+\left(y+\frac\right)^+\left(z+\frac\right)^.$$
七(本題20分) 設$f(x)$在$-\infty
1.若$a>0$,則級數$ \sum\limits_^(-1)^f\left(\frac\right)$收斂,級數$ \sum\limits_^f\left(\frac\right)$發散.
2.若$a=0$,則級數$ \sum\limits_^f\left(\frac\right)$絕對收斂.
四川大學2023年數學分析考研試題
一 本題滿分15分 試求極限 displaystyle lim limits sum limits sin frac 二 本題滿分15分 已知數列 滿足 對一切 n 都有 displaystyle left a frac right e 成立.求 displaystyle lim limits x ...
四川大學2023年數學分析考研試題
一 15分 設 displaystyle x 0,x frac n 1,2,cdot cdot cdot 證明 x 有極限,並求出極限值.二 15分 設 y f x 在 displaystyle 0,infty 一致連續,對任意 displaystyle x in 0,1 lim limits x ...
武漢大學2023年數學分析試題解答
武漢大學2008年數學分析試題解答 一 計算題 1.underset ln x ln left 1 x right underset x ln x underset frac underset frac 0 2.原極限 underset left 1 sqrt right cdots left 1 ...