來自poorich及@xuzheng3254321.
1. ($20'$) 計算極限 $$\bex \lim_\***+\cdots+e^}}^\frac. \eex$$
2. ($20'$) 求定積分 $$\bex i=\int_0^1 \ln(1+\sqrt)\rd x. \eex$$
3. ($15'$) 求二重極限 $$\bex \lim_ \frac. \eex$$
4. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 的連續正函式. 求證存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex \int_a^\xi f(x)\rd x =\int_\xi^b f(x)\rd x =\frac\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$
5. ($15'$) 求以下曲面所圍立體的體積: $$\bex s_1: \frac+\frac+\frac=1,\quad s_2: \frac+\frac=\frac\quad(z\geq 0). \eex$$
6. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的連續函式, 且 $f(x)$ 單調遞增. 求證: $$\bex \int_a^b tf(t)\rd t\geq \frac\int_a^b f(t)\rd t. \eex$$
7. ($12'$) 若數列 $\sed$, $\sed$ 滿足條件:
(1) $a_1\geq a_2\geq \cdots$, 且 $\dpsa_n=0}$;
(2) 存在正數 $m$, 對任意的正整數 $n$, 均有 $\dps^n b_k}\leq m}$.
證明級數 $\dpsa_nb_n}$ 收斂.
8. ($15'$) 設 $0\leq a
(1) 求證: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=b-\xi$;
(2) 若 $a=0$, 求證: 存在 $\al,\be\in (a,b), \al\neq \be$ 使得 $f'(\al)f'(\be)=1$.
9. ($15'$) 求橢圓 $x^2+4y^2=4$ 上的點到直線 $2x+3y=6$ 的最短距離.
10. ($15'$) 半徑為 $r$ 的球面 $s$ 的球心在單位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $s$ 在單位球內面積的最大值, 並求出此時的 $r$.
中國科學院大學2023年數學分析考研試題
來自poorich及 xuzheng3254321.1.20 計算極限 bex lim cdots e frac.eex 2.20 求定積分 bex i int 0 1 ln 1 sqrt rd x.eex 3.15 求二重極限 bex lim frac.eex 4.12 f x 是 a,b 的連續...
中國科學院大學2023年高等代數考研試題
來自陶哲軒小弟.1.計算行列式 bex d sevm frac cdots frac frac frac cdots frac vdots vdots ddots vdots frac frac cdots frac eex 2.二次型 bex f x 1,x 2,x 3 5x 1 2 5x 2 2...
中國科學院數學與系統科學研究院
中國科學院數學與系統科學研究院成立於1998年12月，是由中科院數學研究所 建於1952年 應用數學研究所 建於1979年 系統科學研究所 建於1979年 及計算數學與科學工程計算研究所 建於1995年 等四個研究所整合而成。首任院長是楊樂院士，現任院長是郭雷院士。研究院是乙個綜合性的國立學術研究機...