1. 計算 $$\bex \lim_\dfrac\rd t-x}. \eex$$
2. 討論廣義積分 $\dps}-\sin \dfrac}}$ 的斂散性.
3. 函式 $$\bex f(x,y)=\sedd \***}\sqrt,&y\neq 0;\\ 0,&y=0. \ea} \eex$$ $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處可微麼? 證明你的結論.
4. 計算 $$\bex \int_l e^x[(1-\cos y)\rd x-(y-\sin y)\rd y], \eex$$ 其中 $l$ 去曲線 $y=\sin x$ 從 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.
5. 證明函式項級數 $$\bex \sum_^\infty \dfrac \eex$$ 在 $(0,2\pi)$ 上一致收斂, 並且在 $(0,2\pi)$ 上有連續導數.
6. 設 $$\bex x_0=1,\quad x_=\dfrac,\quad (n\geq 0). \eex$$ 證明數列 $\sed$ 收斂並求其極限.
7. 設函式 $f\in c^2(\bbr^2)$, 且對任意 $(x,y)\in\bbr^2$, $$\bex \dfrac(x,y)+\dfrac(x,y)>0. \eex$$ 證明: $f$ 沒有極大值點.
8. 設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 內可導, 且 $f(b)>f(a)$, $\dps}$. 證明 $f$ 必具備下述兩條性質中的乙個:
(1). 任意 $x\in [a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$.
(2). 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $f'(\xi)>c$.
9. 設 $f:\bbr^3\to \bbr^2$ 是 $c^1$ 對映, $x_0\in\bbr^3$, $y_0\in\bbr^2$, $f(x_0)=y_0$, 且 $f$ 在 $x_0$ 處的 jacobi 矩陣 $d f(x_0)$ 的秩為 $2$. 證明: 存在 $\ve>0$, 以及 $c^1$ 對映 $\gamma(t):\ (-\ve,\ve)\to\bbr^3$, 使得 $\gamma'(0)$ 是非零向量, 且 $f(\gamma(0))=y_0$.
10. 設開集 $u\subset\bbr^n$, $f:u\to \bbr^n$ 是同胚對映, 且 $f$ 在 $u$ 上一致連續. 證明: $u=\bbr^n$.
參考解答見家裡蹲大學數學雜誌.
四川大學2023年數學分析考研試題
一 極限 每小題7分,共28分 1.displaystyle lim limits e left 1 frac right 2.displaystyle lim limits ne n ln 1 frac 3.displaystyle lim limits left n right 4.displa...
四川大學2023年數學分析考研試題
一 本題滿分15分 試求極限 displaystyle lim limits sum limits sin frac 二 本題滿分15分 已知數列 滿足 對一切 n 都有 displaystyle left a frac right e 成立.求 displaystyle lim limits x ...
四川大學2023年數學分析考研試題
一 15分 設 displaystyle x 0,x frac n 1,2,cdot cdot cdot 證明 x 有極限,並求出極限值.二 15分 設 y f x 在 displaystyle 0,infty 一致連續,對任意 displaystyle x in 0,1 lim limits x ...