武漢大學2023年數學分析試題解答
1：計算
（1） 解：由\[1-\frac^}=1-\frac=\frac^}}=\frac\cdot \frac\]
從而$(1-\frac)(1-\frac)\cdots (1-\frac)=\frac\cdot \frac$
於是$\underset}\,(1-\frac)(1-\frac)\cdots (1-\frac)=\frac$
（2） 解：原極限$=\underset}\,\frac^^})dt}}^}}=\underset}\,\frac^})}^}}=\frac$
（3） 解：由於$f(x)=\frac\int\limits_^^}}dt=\frac\int\limits_^^^}}^}}}dt=\sum\limits_^^}}\cdot \frac^}}}$
從而$^}(0)=\frac\cdot \frac\cdot 8!=\frac=\frac,^}(0)=0$
（4） 解：\[_}=yf_^+f_^\]
\[_}=y(yf_^+f_^)+(yf_^+f_^)=^}f_^+2yf_^+f_^\]
\[_}=f_^+xyf_^+(x+y)f_^+f_^\]
（5） 解：原式\[=\iint_dxdy}}\]
\[=\int\limits_^^}-2\int\limits_^^}\]
\[=\int\limits_^^}\]
\[=\int\limits_^\]
\[=2\ln 2-\frac\]
2：證明：設$_}=\sum\limits_^^}$
由於$\underset}\,_}>0$,則存在$_}>0$,當$n>_}$時,使得$_}>0$
而$_}\ge _}$,則存在$_}>0$,當$n>_}$時,使得$_}\ge 0$
且$_}\ge _}$，於是
當$n>_}$時,必有$a_^\le \sum\limits_^^}\le na_^$
即$_}\le \sqrt[n]_}}\le \sqrt[n]_}$
兩邊取極限，由迫斂性知：$\underset}\,\sqrt[n]^^}}=a$
3：證明：反證法。若$\underset}\,\left| f'(x) \right|=m<\infty $
則 $\underset}\,\left| f'(x) \right|=\underset}\,\left| f(\frac)+f'(\xi )(x-\frac) \right|$
$\le \left| f(\frac) \right|+m\cdot \frac<\infty $
矛盾，即假設不成立，原命題成立！
4：證明：由
$\int\limits_^^}dtdx=\int\limits_^^}dtdx+\int\limits_^^}dtdx$
\[=\int\limits_^^}dtdx+\int\limits_^^}dtdx\]
\[=\int\limits_^^}dtdx\ge 0\]
即知：$(b-a)\int\limits_^\int\limits_^\int\limits_^$
5：解：（1）$_}(0,0)=\underset}\,\frac=0,_}(0,0)=\underset}\,\frac=0$
即存在，且都為0
（2）當$^}+^}\ne 0$時，\[_}(x,y)=\frac^}}^}+^})}^}},_}(x,y)=\frac^}(^}-^})}^}+^})}^}}\]
而$\underset}\,_}(x,y)=\frac^}}^})}^}},\underset}\,_}(x,y)=\frac^}}^})}^}}$與$k$有關
從而 $_}(x,y),_}(x,y)$在$(0,0)$不連續。
（1） 由 $\underset}\,\frac_}(0,0)x-_}(0,0)y}^}+^}}}=\frac^})}^}}}$
即知$f(x,y)$在$(0,0)$上不可微
6：證明：設三個單引數曲面族分別為
$f(x,y,z)=xz-uy=0$
$g(x,y,z)=\sqrt^}+^}}+\sqrt^}+^}}-v=0$
$h(x,y,z)=\sqrt^}+^}}-\sqrt^}+^}}-w=0$
則在它們的公共點$(x,y,z)$ 處的法向量分別為
$_}(x,y,z,u)=(z,-u,x)=(z,-\frac,x)$
$_}(x,y,z,v)=(\frac^}+^}}},\frac^}+^}}}+\frac^}+^}}},\frac^}+^}}})$
$_}(x,y,z,v)=(\frac^}+^}}},\frac^}+^}}}-\frac^}+^}}},\frac^}+^}}})$
易驗證$\left\langle _},_} \right\rangle =\left\langle _},_} \right\rangle =\left\langle _},_} \right\rangle =0$，從而結論成立。
7：證明：由
$\frac$
$=\left|\begin
} & } \\
} & }
\end\right|$$
=\left|\begin
& 0 \\
& -1
\end\right|
$$=-f'(x)$
而$f'(_})\ne 0$且在$(_},_})$附近是區域性可逆的，從而
$u=f(x)\rightarrow x=g(u)$
$v=xf(x)-v=ug(u)-v$
8：解：（1）當$x=0$時，$s(x)=0;$當$x>0$ 時，由
$\underset}\,\frac^/{}_^}}}=\underset}\,\frac^}x)}=\underset}\,\frac^}x}^}x}=0$
知$s(x)$有定義；當$x<0$時，$1+^}x>0\rightarrow y<\frac}$
知$s(x)$不存在，綜上所述，$s(x)$的定義域為$[0,+\infty )$
（2） $\frac^}x)}^}}\le \frac^}b)}^}}(0\le x\le b)$，即知$s(x)$在有界區間$[0,b]$上是一致收斂
（2） 又由\[\int\limits_^^}^^}}})}^}}}dy\ge \int\limits_^}^^}}}}^}}}dy=\frac\] ，即知在$(0,+\infty )$上不是一致收斂的
（3） 由$_}(x,y)=\frac^}x}\le \frac^}a}(0即知$s(x)$在$(0,+\infty )$上可微，又由
\[\underset^}}}\,\frac=\underset^}}}\,\int\limits_^^}x)}^}x}}dy\]
\[=\underset^}}}\,\int\limits_^\cdot \frac^}}^}}}}du=\underset^}}}\,\frac^}}}\int\limits_^}du=\infty \]
知$s(x)$在$x=0$處不可導
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