1、問題描述
給定帶權有向圖g =(v,e)，其中每條邊的權是非負實數。另外，還給定v中的乙個頂點，稱為源。現在要計算從源到所有其他各頂點的最短路長度。這裡路的長度是指路上各邊權之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。
2、dijkstra演算法
dijkstra演算法是解單源最短路徑問題的貪心演算法。
其基本思想是，設定頂點集合s並不斷地作貪心選擇來擴充這個集合。乙個頂點屬於集合s當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。初始時，s中僅含有源。設u是g的某乙個頂點，把從源到u且中間只經過s中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用陣列dist記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。dijkstra演算法每次從v-s中取出具有最短特殊路長度的頂點u，將u新增到s中，同時對陣列dist作必要的修改。一旦s包含了所有v中頂點，dist就記錄了從源到所有其他頂點之間的最短路徑長度。
dijkstra演算法可描述如下，其中輸入帶權有向圖是g=(v,e)，v=，頂點v是源。c是乙個二維陣列，c[i][j]表示邊(i,j)的權。當(i,j)不屬於e時，c[i][j]是乙個大數。dist[i]表示當前從源到頂點i的最短特殊路徑長度。在dijkstra演算法中做貪心選擇時，實際上是考慮當s新增u之後，可能出現一條到頂點的新的特殊路，如果這條新特殊路是先經過老的s到達頂點u,然後從u經過一條邊直接到達頂點i，則這種路的最短長度是dist[u]+c[u][i]。如果
dist[u]+c[u][i]。步驟如下：
(1) 用帶權的鄰接矩陣c來表示帶權有向圖, c[i][j]表示弧上的權值。設s為已知最短路徑的終點的集合,它的初始狀態為空集。從源點v經過s到圖上其餘各點vi的當前最短路徑長度的初值為：dist[i]=c[v][i], vi屬於v.
(2) 選擇vu, 使得dist[u]=min,vj就是長度最短的最短路徑的終點。令s=s u .
(3) 修改從v到集合v-s上任一頂點vi的當前最短路徑長度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 則修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j].
(4) 重複操作(2),(3)共n-1次.
演算法具體實現如下
#include
#include
#include
using namespace std;
#define n 5
#define m 10000
template
void dijkstra(int n,int v,type dist,int prev,type c[n+1])
else
} dist[v] = 0;
s[v] = true;
for(int i=1; i"cout<} dijkstra(n,v,dist,prev,c);
for(int j=2; j<=n; j++)
return 0;
}
單源最短路徑
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