單源最短路徑問題，給定乙個圖g=(v,e)，找出從給定的源點s∈v到其它每個結點v∈v的最短路徑。在開始各種單源最短路徑之前，都需要預先對節點進行初始化，對於每個節點這裡主要記錄了三種演算法：dijkstra: 貪心, floyd: 動歸 （spfa：它沒了）
p3371 【模板】單源最短路徑（弱化版） : ford無法通過，spfa和dijkstra可通過
p4779 【模板】單源最短路徑（標準版）：只有dijkstra可通過
v，維持乙個屬性v.d，記錄從源節點s到節點v的最短路徑長度，v.π記錄其前驅節點
所有的單源最短路徑演算法都需要使用到鬆弛操作
鬆弛操作是對於一條從節點u到節點v的權重為w的一條邊，將從結點s到結點u之間最短路徑加上結點u到v之間的邊的權重，然後與當前的s到v的最短路徑估計v.d進行比較，看有沒有變小。如果變小，則對v.d和v.π進行更新，這一操作就稱為「鬆弛」
可以有負權重的邊，但不能有負權重的環因為總共只有
|v|個節點，且不存在負權重的環，所以從s出發，通過|v| - 1步一定能到達所有能到達節點，並且通過不斷的鬆弛操作，就能或得從s出發的所有最短路徑了。演算法複雜度就是o(v
e)o(ve)
o(ve)
舉個栗子
**部分：
#include
#include
using
namespace std;
#define n 110
#define m 5100
int edge[m][3
], ans[n]
;// 儲存邊
intmain()
for(
int i =
0; i < n -
1; i++)}
// 輸出結果
for(
int i =
1; i <= n; i++
)return0;
}
e)o(ke)
o(ke
), k是乙個常數，指每個點平均進隊次數（在稀疏圖中k較小，在稠密圖中k較大），因此演算法穩定性較差。
實現過程：
存入圖，一般使用鏈式前向星
建立乙個佇列，將起始節點放入佇列
每次從佇列中取出乙個節點x，遍歷所有和x相鄰的節點y，然後進行鬆弛操作，如果能進行鬆弛操作，則將節點y也加入到佇列中（如果已在佇列中則不需要重複加入），這個期間中可以記錄節點鬆弛的次數，如果鬆弛次數大於n-1次，就說明圖中有負環。
**部分：
#include
#include
#include
using
namespace std;
#define n 110
#define m 5100
struct edge // 邊
arr[m]
;int head[n]
, length =
1, ans[n]
;void
add(
int u,
int v,
int w)
void
spfa
(int n,
int m,
int s)}}
}}intmain()
spfa
(n, m, s)
;for
(int i =
1; i <= n; i++
)return0;
}
模擬一下這個過程：
**部分：
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
#define n 1100
#define m 2100
struct edge
arr[m]
;int head[n]
, length =
1, ans[n]
;bool vis[n]
;void
add(
int u,
int v,
int w)
void
dijkstra
(int n,
int m,
int s)}}
}int
main()
dijkstra
(n, m, s)
;for
(int i =
1; i <= n; i++
)return0;
}
單源最短路徑
include define max 999 define maxverts 10 typedef struct graph void chushi graph g void dij graph int key,int int int main for i 1 i g.numverts i dij ...
單源最短路徑
最優子結構 最短路徑的子路徑也是最短路徑，動態規劃和貪心演算法的乙個重要指標。環路 一條最短路徑不可能包含環路 1 環路權重為負，如果有一條環路權重為負，則不存在最短路徑 2 環路權重為零，如果包含該環路，則將該環路去掉即可 3 環路權重為正，去掉改環路可以得到更短的路徑，因此不可能是最短路徑 最短...
單源最短路徑
單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其他任一頂點的最短路徑。1.最短路徑的最優子結構性質 該性質描述為 如果p i,j 是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的乙個中間頂點，那麼p k,s 必定是從k到s的最短路徑。證明 假設p i,j 是從頂點i到j的最短路徑，則有p i,j p i,k...