快速求正整數次冪，當然不能直接死乘。舉個例子：
3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3
直接乘要做998次乘法。但事實上可以這樣做，先求出2^k次冪：
3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)
再相乘：
3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3
這樣只要做16次乘法。即使加上一些輔助的儲存和運算，也比直接乘高效得多（尤其如果這裡底數是成百上千位的大數字的話）。
我們發現，把999轉為2進製數：1111100111，其各位就是要乘的數。這提示我們利用求二進位制位的演算法（其中mod是模運算）：
reverse_binary(n)
1while(n > 0)
2dooutput (n mod 2)
3 n ← n / 2
這個演算法給出正整數n的反向二制進製，如6就給出011（6的二進位制表示為110）。事實上這個演算法對任意的p進製數是通用的，只要把其中的2換成p就可以了。
如何把它改編為求冪運算？我們發現這個演算法是從 低位向高位做的，而恰好我們求冪也想從低次冪向高次冪計算（參看前面的例子）。而且我們知道前面求出的每個2^k次冪只參與一次乘法運算，這就提示我們並 不把所有的中間結果儲存下來，而是在計算出它們後就立即運算。於是，我們要做的就是把輸出語句改為要做的乘法運算，並在n減少的同時不斷地累積求2^k次 冪。
還是看演算法吧：
power_integer(x, n)
1 pow ← 1
2while(n > 0)
3doif(n mod 2 = 1)
4thenpow
← pow * x
5 x
← x * x
6 n
← n / 2
7returnpow
不難看出這個演算法與前面演算法的關係。在第1步給出結果的初值1，在while迴圈內進行運算。3、4中的if語句就來自reverse_binary的輸出語句，不過改成了如果是1則向pow中乘。5句則是不斷地計算x的2^k次冪，如對前面的例子就是計算2^2、2^4、2^8、…、2^512。
應該指出，power_integer比 前面分析的要再多做兩次乘法，一次是向pow中第一次乘x，如2^1也要進行這個乘法；另一次則是在演算法的最後，n除以2後該跳出迴圈，而前面一次x的自 乘就浪費掉了（也可以考慮改變迴圈模式優化掉它）。另外，每趟while迴圈都要進行一次除法和一次模運算，這多數情況下除法和模運算都比乘法慢許多，不 過好在我們往往可以用位運算來代替它。
相應的c++**如下
numbertype pow_n(numbertype x, unsigned int n)
return pw;
}進行簡單的優化後則有：
numbertype optimized_pow_n(numbertype x, unsigned int n)
return pw;
}注1：快速求冪演算法power_integer常被寫成遞迴的形式，演算法實質完全相同，但卻是無必要的。
注2：這個演算法並不是做乘法數最少的，但多數情況下是足夠快並且足夠簡單的。如果單純追求做乘法數最少，則未必應該用2^k次冪進行計算。如果還允許做除法，則問題會進一步複雜化。
如：x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 31 = (x ^ 16) * (x ^ 8) * (x ^ 4) * (x ^ 2) * x
要8次乘法。
x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 10 = (x ^ 8) * (x ^ 2)
x ^ 20 = (x ^ 10) * (x ^ 10)
x ^ 30 = (x ^ 20) * (x ^ 10)
x ^ 31 = (x ^ 30) * x
只要7次乘法。
x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 32 = (x ^ 16) * (x ^ 16)
x ^ 31 = (x ^ 32) / x
只要6次乘或除法。
不過具體得出上述乘（除）法數更少的演算法會變得相當複雜，在許多情況下時間收益還會得不償失。因此往往並不實用。
acm japan 2006中有一道題即要求計算最少乘法數，可參看：
zz from:
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