敗者樹與外部多路歸併排序

在處理大資料量的排序時，由於資料無法全部載入到記憶體，內部排序無法對整個資料集進行排序，需要到外部排序。

外部排序有一些特點，跟記憶體容量和讀寫檔案有關：

1. 讀寫檔案，需要考慮 io 時間

2. 從無序到逐步有序的過程中，需要多個中間檔案

外部排序有多種，常見的歸併排序的如下：

輸入為大檔案 f ，排序過程分為分割和歸併分割：1. 從 f 中讀入記憶體能容納的 k 個數 2. 對 k 個數排序 3. 排序結果輸出的到檔案 gi 4. 重複 1-3 直到 f 結束分割後得到 ceil(f/k) 個已排序的小檔案，合併過程將多個小檔案合併歸併：1. 開啟 m 個小檔案（或後續中間結果檔案） 2. 從 m 小檔案中讀當前數字，選最小的數輸出到中間結果檔案 ri (假設為按從小到大排序) 3. 重複 2 直到 m 個小檔案結束

4. 重複 1-3 直到所有檔案（包間中間檔案）已合併到最終檔案

歸併的過程中，以什麼樣的演算法選數呢？

假如 m=2 （二路外部歸併排序），那麼沒有什麼好說的，直接比較兩個數的大小就行了。但從整體上來說，由於每次只操作兩個小檔案，需要的中間結果檔案數量多，io 占用時間長。

如果提公升 m ，進行多路排序，那麼可減少中間檔案的數量，但是對數的比較運算就複雜，每次取走乙個數後，都要對 m 個檔案流第乙個數進行一次排序。

敗者樹是處理 m 路歸併時，優化排序的資料結構，它是對排序樹的一種變型，可減少因取走數調整的工作量。

敗者樹的基本思想是：左右孩子結點進行比較時，敗者儲存到父節點，而勝者則繼續向上比較；根節點儲存冠軍。

l[0]:冠軍b2
|l[1]:敗者b1
/            \
l[2]:敗者b0           l[3]:敗者b3
/     \               /      \
l[4]:b[0]8  l[5]:b[1]7 l[6]:b[2]5  l[7]:b[3]9

對於 m 路歸併排序，需要使用 m 個元素記錄勝敗情況，m 個葉子儲存 m 個檔案流第乙個數。敗者樹的節點可用 union 表示為：

typedef union _node

infotype 中需要記錄檔案流和對應的第乙個數，需要支援的操作：

top() 取當前檔案偏移的數，偏移位置不變
de()  取當前檔案偏移的數，偏移位置 + 1

它使用陣列儲存，l[0]為冠軍，l[m]...l[2m-1]為葉子節點，每個節點 i 的分節點為 i/2 （有些寫法會把敗者樹陣列 l 和資料陣列 b 分開，也是可以的）。每次取走冠軍l[0]，需要從葉子結點向上更新。

調整的演算法為：

// 調整敗者樹 l ，冠軍為位置 s ，取出冠軍後調整
adjust(losertree l, int s):
p = s / 2   // 從葉子節點 l[s] 向根節點 l[0] 調整
while p>0:
//  l[s] 失敗，調整父節點l[p]，l[p]向上比較
if l[s].info->top() > l[l[p]].info->top():
tmp = l[p]  // 暫存 l[p]
l[p] = s    // 父節點為敗者
s = tmp     // 存入 s 繼續向上
p = p / 2   // 繼續向上調整
l[0] = s        // 冠軍

那麼敗者樹的構建過程為：

create_lt(losertree l, int m, int data):
for i in rang(m):
l[i] = m+i;     // 勝者敗者初始化
for i in range(m, 2m-1):
l[i] = infotype(data[i-m])  // 資料初始化
for i in range(2m-1, m, step=-1):
adjust(l, i);   // 初始化調整，從 data[m-1]...data[0]

合併的演算法為：

m_merge(losertree l, int m, int data):
create_lt(l, m, data);
// 一直取冠軍直到檔案結束
while l[l[0]]->top() != eof:
output(l[l[0]]->de());  // 輸出冠軍，同時該檔案流到下一位置
adjust(l, l[0])

敗者樹將調整的過程的比較數量減少到 log(n) ，有效地加速外部排序的過程。

除了在外部歸併排序中使用，還可以在置換選擇排序中使用敗者樹，以在記憶體中獲取當前小於已輸出的最大的數的最小數，不過比較的時有雙關鍵字：當前已輸出的最大數、和同時比較數字。

敗者樹與外部多路歸併排序

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