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參考：引子
前面講到的google面試題
賽馬問題
，我一直在想，會不會有一種演算法能講得更清楚，更明白呢。後來我發現賽馬問題和外部排序之歸併排序很相似。賽馬問題中由於賽道只能一次賽5匹馬，就好比我們要對25匹馬進行排序，但是發現計算機記憶體不夠（賽道是賽5匹馬的），最多同時只能排序5匹馬，所以要用外部排序來解決問題。而敗者樹這種資料結構常用於提高外部排序的效率。所以這篇文章的目的就是把敗者樹和勝者樹講清楚。
概念介紹
勝者樹和敗者樹都是完全二叉樹，是樹形選擇排序的一種變型。每個葉子結點相當於乙個選手，每個中間結點相當於一場比賽，每一層相當於一輪比賽。
不同的是，勝者樹的中間結點記錄的是勝者的標號；而敗者樹的中間結點記錄的敗者的標號。
勝者樹與敗者樹可以在log(n)的時間內找到最值。任何乙個葉子結點的值改變後，利用中間結點的資訊，還是能夠快速地找到最值。在k路歸併排序中經常用到。
勝者樹
勝者樹的乙個優點是，如果乙個選手的值改變了，可以很容易地修改這棵勝者樹。只需要沿著從該結點到根結點的路徑修改這棵二叉樹，而不必改變其他比賽的結果。
fig. 1
fig.1是乙個勝者樹的示例。規定數值小者勝。
b3 pk b4，b3勝b4負，內部結點ls[4]的值為3；
b3 pk b0，b3勝b0負，內部結點ls[2]的值為3；
b1 pk b2，b1勝b2負，內部結點ls[3]的值為1；
b3 pk b1，b3勝b1負，內部結點ls[1]的值為3。
當fig. 1中葉子結點b3的值變為11時，重構的勝者樹如fig. 2所示。
b3 pk b4，b3勝b4負，內部結點ls[4]的值為3；
b3 pk b0，b0勝b3負，內部結點ls[2]的值為0；
b1 pk b2，b1勝b2負，內部結點ls[3]的值為1；
b0 pk b1，b1勝b0負，內部結點ls[1]的值為1。.
fig. 2
敗者樹
敗者樹是勝者樹的一種變體。在敗者樹中，用父結點記錄其左右子結點進行比賽的敗者，而讓勝者參加下一輪的比賽。敗者樹的根結點記錄的是敗者，需要加乙個結點來記錄整個比賽的勝利者。採用敗者樹可以簡化重構的過程。
fig. 3
fig. 3是一棵敗者樹。規定數大者敗。
b3 pk b4，b3勝b4負，內部結點ls[4]的值為4；
b3 pk b0，b3勝b0負，內部結點ls[2]的值為0；
b1 pk b2，b1勝b2負，內部結點ls[3]的值為2；
b3 pk b1，b3勝b1負，內部結點ls[1]的值為1；
在根結點ls[1]上又加了乙個結點ls[0]=3，記錄的最後的勝者。
敗者樹重構過程如下：
fig. 4
fig. 4是當b3變為13時，敗者樹的重構圖。
注意，敗者樹的重構跟勝者樹是不一樣的，敗者樹的重構只需要與其父結點比較。對照fig. 3來看，b3與結點ls[4]的原值比較，ls[4]中存放的原值是結點4，即b3與b4比較，b3負b4勝，則修改ls[4]的值為結點3。同理，以此類推，沿著根結點不斷比賽，直至結束。
敗者樹和勝者樹的區別
由上可知，敗者樹簡化了重構。敗者樹的重構只是與該結點的父結點的記錄有關，而勝者樹的重構還與該結點的兄弟結點有關。所以敗者樹常用語外部歸併排序。
重要批註
文章寫到這裡，我突然發現，敗者樹還真不能解決賽馬問題。為什麼這麼說呢？因為在賽馬問題中，可以同時比較5匹馬，選出最快的。而在敗者樹中，是每次同時比較兩個數，選其中的較小值。也就是說，如果賽馬問題變換成這樣:有5組馬，每組有5匹馬，並且每組的馬按照速度快慢排列好。現在只有乙個2跑道的馬場，現在要將總共這25匹馬按照速度排序。 這個問題才是敗者樹可以解決的。嘿嘿，描述的問題其實就是外部歸併排序了。5組排好序的馬，就是5個陣列，按照大小排序好。
勝者樹和敗者樹的應用
貼一道題：
給定乙個陣列array，長度為16。如何採用最少的比較次數找出第二大的元素？
1. 直觀方法是通過兩次氣泡排序，15+14=29 次比較可找到第二大的元素。然而直觀方法顯然沒有應用到一些已經比較過的資訊。
2. 採用歸併排序，構造勝者樹。與該勝者比較過的元素有4個（大概就是勝者樹的高度），只需要對這些元素進行比較即可，共比較次數15（勝者樹）+ （4-1）=18 次比較。
注：也就是說勝者樹在求陣列最大值，次大值得時候，有用武之地。
敗者樹在外排序的k路平衡歸併中使用，它是乙個完全二叉樹，其非葉節點（中間節點）為比較中的敗者。根節點為最後一次比較的敗者。最終勝利者則被直接輸出（或到輸出緩衝區）。
敗者樹的引入是因為：k路平衡歸併中，若不使用敗者樹，則對每次對k路需要比較k-1次得到最值，對於總共n個記錄的每一趟歸併共需要(n-1)*(k-1)次比較。若有m個歸併初始段，歸併趟數為logk(m) ,總共比較次數logk(m)*(n-1)*(k-1)。引入敗者樹（由k個元素構造成敗者樹）則每次不需要k-1次比較，只需要log2（k）次即可。
勝者樹與敗者樹
概念介紹 勝者樹和敗者樹都是完全二叉樹，是樹形選擇排序的一種變型。每個葉子結點相當於乙個選手，每個中間結點相當於一場比賽，每一層相當於一輪比賽。不同的是，勝者樹的中間結點記錄的是勝者的標號 而敗者樹的中間結點記錄的敗者的標號。勝者樹與敗者樹可以在log n 的時間內找到最值。任何乙個葉子結點的值改變...
勝者樹與敗者樹
勝者樹與敗者樹 勝者樹和敗者樹都是完全二叉樹，是樹形選擇排序的一種變型。每個葉子結點相當於乙個選手，每個中間結點相當於一場比賽，每一層相當於一輪比賽。不同的是，勝者樹的中間結點記錄的是勝者的標號 而敗者樹的中間結點記錄的敗者的標號。勝者樹與敗者樹可以在log n 的時間內找到最值。任何乙個葉子結點的...
勝者樹與敗者樹（二）
勝者樹和敗者樹都是完全二叉樹，是樹形選擇排序的一種變型。每個葉子結點相當於乙個選手，每個中間結點相當於一場比賽，每一層相當於一輪比賽。不同的是，勝者樹的中間結點記錄的是勝者的標號 而敗者樹的中間結點記錄的敗者的標號。勝者樹與敗者樹可以在log n 的時間內找到最值。任何乙個葉子結點的值改變後，利用中...