平面分割問題小結

acm學習群裡接觸到的問題，既然假期有時間就寫個總結吧。

題意：n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。

思路：當有n-1條直線時，平面最多被分成了f(n-1)個區域。則第n條直線要切成的區域數最多，就必須將直線盡可能兩兩相交，而避免多條直線相交於一點和平行關係的出現。這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線段。而每條射線和線段將以有的區域一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。

由此可得：f(n) = f(n-1)+n = f(n-2)+(n-1)+n =f(1)+1+2+……+n = n(n+1)/2+1。

根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數為f(n-1)。為了使增加的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加乙個區域。

由此可得：f(n) = f(n-1)+4(n-1)+2-1 = f(n-1)+4(n-1)+1 = f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2 = f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1) = 2n^2-n+1

#include int
main ()
return0;
}

該問題只討論兩兩橢圓只有兩個交點的情況

題意：有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

設橢圓數為n，分割數為s(n)

則：s(1)=2 , s(2) =4 , s(3)=8 , s(4)=14 ……

思路：當n-1個圓時，區域數為f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個區域。

則： f(n) = f(n-1)+2(n-1) = f(1)+2+4+……+2(n-1) = n^2-n+2

設三角形數為n，分割數為s(n)

則s(1)=2 , s(2)=8 , s(3)=20 , s(4)=38

當 n=2 時，新增的三角形與原有的三角形有了6個交點，即每邊兩個交點，也就產生6個新增區域，同理遞推

遞推式：s(n) = s(n-1)+6(n-1)

s(n)=3*n^2-3*n+2

#include int
main ()
return0;
}

由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數為f(n-1)。要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成 g(n-1)個區域。（g(n)為問題一中的直線分平面的個數）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加 g(n-1) 個空間。

則：f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1

=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1) = f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1) = 2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1=(n^3+5n)/6+1

#include int
main ()

補充：acdream 1080

#include long
long deal (long
long s,long
long e,long
long
n)    
long
long mid = (s+e)>>1
;    
if ( mid*mid-mid+2 >=n )
return
deal (s,mid,n);
else
return deal (mid+1
,e,n);
}int
main ()
return0;
}

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平面分割問題

平面分割問題。。

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