KMP演算法詳解

前置：

嘗試去思考這樣乙個問題：給定字串s和p，詢問在字串s中，字串p出現了幾次？

設s = "aabcdedf", p = "abc"; 

我們先從最暴力的方法入手，不難想到去針對s的每一位去和p暴力匹配。

當 $i = 0$ 時， 字串匹配如下圖：

$s[0] == p[0]$ 則繼續向後匹配，發現 $s[1] != p[1] $，則執行 $i++$ 進行下一次匹配。

當 $i = 1$ 時，匹配如下圖

$s[0] == p[0]$ 繼續向後匹配， 直到 $s[i + strlen(p) - 1] == p[strlen(p) - 1]$ 證明匹配成功。

令 $ans++$，並且 $i++$ 進行下一次匹配。

按上述方法匹配直到字串s被遍歷一遍，輸出 $ans$ 即可。

**：

1

int fun(char *s, char *p)
11if (j ==strlen(p))
12             ++ans;13}
14return
ans;
15 }

設字串s的長度為 $n$ ， p的長度為 $m$ ，不難計算出該暴力演算法的複雜度為 $o(nm)$，在資料量較大的時候必定超時。

kmp演算法：

kmp演算法則是對上述過程中的乙個優化，使得在每次匹配的過程中，當遇到失配的情況時，可以通過之前已經匹配的資訊優化匹配過程，而不用每次都從字串p的起始位置重新匹配。

這個優化的過程就是通過 $next$ 陣列實現的。 我們將字串s稱為文字串，將字串p成為模式串。

kmp演算法分為兩個階段：1、求模式串的 $next$ 陣列。 2、結合 $next$ 陣列進行匹配。

$next$ 陣列：$next[i]$ 的含義為：模式串第 $i$ 位與文字串適配時，下一次匹配應該從 模式串第 $next[i]$ 個位置開始匹配。

圖例：

上圖匹配過程中在 $p = 6$ 時發生失配，結合 $next$ 陣列此時我們下一次匹配的起始位置應是：

因為右移四位後，模式串中又會有乙個「ab」與文字串匹配。從而不用 $i$ 移動。

不難得出結論： $next[i]$ 為 $i$之前的模式串的最長公共前字尾的長度。

之後去求 $next$ 陣列的過程其實是模擬串自我匹配的過程

int nxt[1005

];void get_next(char *s)
//失配則i不變, j需移動到nxt[j]的位置繼續匹配 
else} }

在求得 $next$ 陣列之後，我們便可以根據 $next$ 陣列進行匹配。

int kmp(char *s, char *p)

//失配則i不變, j移動到nxt[j]位置繼續匹配 
else
//匹配成功 
if (j ==lenp)
++ans; 
} return
ans; 
} 

以上便是kmp演算法的大體內容，複雜度為 $o(n + m)$。

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