差分約束系統學習筆記

差分約束系統：

1.演算法用途：

解決形如這樣一組不等式：

\[\left\x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 1 \\ x_-x_\leq 1 \\ x_-x_\leq 5 \\ x_-x_\leq 4 \\ x_-x_\leq -1 \\ x_-x_\leq -3 \\ x_-x_\leq -3 \end\right.\]

這種不等式的特點是：

1.都是兩個數的差小於等於某個常數（當然大於等於也可以，因為兩邊同時乘以-1也可以化為小於等於的形式

）。2.要麼無解，要麼就有無限組解。

2.演算法與單源最短路徑的聯絡：

1.三角形不等式：

在單源最短路徑問題中，任意一條邊都滿足乙個三角形不等式：

\[dis[u]\leq dis[v]+len[u][v]\]

例：在上面這幅圖中，滿足

\[dis[3]\leq dis[2]+len[2][3]\]

2.差分約束系統也正好滿足於這個條件，所以可以用單源最短路徑來解決差分約束系統。

3.演算法實現步驟：

每個不等式的未知數都可以給它乙個節點

對於每乙個不等式：

\[x_-x_\leq y\]

可以化為：

\[x_\leq x_+y\]

所以我們給

\[i,j\]

這兩個點建一條邊權為y的邊

例：\[\left\x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 1 \\ x_-x_\leq 1 \\ x_-x_\leq 5 \\ x_-x_\leq 4 \\ x_-x_\leq -1 \\ x_-x_\leq -3 \\ x_-x_\leq -3 \end\right.\]

可以構圖：

然後我們可以從每個點出發跑一遍最短路

雖然每次會得到不同的解，但是這些解每個都是可行的。

但是我們要得到統一的解，所以我們可以增加乙個源點0

可是這與差分約束系統又有什麼關係呢？？？

我們不妨增加乙個不等式：

\[\left\x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 0 \\ x_-x_\leq 0 \end\right.\]

這時圖可以變成：

這時我們便可以從源點0開始，跑一遍單源最短路徑

當然如果要求不等式的最大解，可以把最短路改為最長路。

當我們把初值

\[dis[0]=x\]

所有未知數的解都不會大於x（但我們一般都會把這個dis[0]設為0）

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