參考：sears and zemansky's university physics : with modern physics, 13th ed
我們從自由粒子做個說明。
我們從熟悉的機械波開始談起。
在弦上傳播的乙個波的波動方程是這樣的
\begin
\frac=\frac\frac
\end
方程的解是
\begin
y(x,t)=a\cos(kx-\omega t)+b\sin(kx-\omega t)
\end
其中\(v\)是波速，\(k=2\pi/\lambda\)為波數，\(\omega = 2\pi \nu\)為圓頻率。於是有
\begin
\begin
\frac&=-\omega^2 y(x,t)\\
\frac&=-k^2 y(x,t)
\end
\end
容易看出來，\(y(x,t)\)要滿足波動方程，必須要求\(\omega =v k\)。
現在我們看自由粒子的量子力學。
設自由粒子的質量為\(m\)，粒子能量\(e=\frac\)，由波粒兩象性，\(e=h\nu=\hbar \omega，p=h/\lambda =\hbar k\)，於是可得\(\hbar \omega =\frac\)。
假設粒子的波函式為
\begin
\psi(x,t)=a\cos(kx-\omega t)+b\sin(kx-\omega t)
\end
對\(x\)求二階導，
\begin
\frac=-k^2 \psi(x,t)
\end
對\(t\)求一階導
\begin
\frac=\omega [a \sin(kx-\omega t)-b \cos(kx-\omega t)]
\end
根據前面我們得到的關係，\(\hbar\omega =\frac\)，可知波動方程必須是如下形式
\begin
-\frac\frac=c\hbar \frac
\end
其中\(c\)為未定引數。把求導帶入上式，可得\(a=-cb\)，\(b=ca\)，由此可得\(c=i\)，\(b=ia\)，所以量子波動方程為
\begin
-\frac\frac=i\hbar \frac
\end
波函式\begin
\psi(x,t)=a[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)]=ae^
\end
綜上，量子力學必須裡必須有複數。
量子力學概述
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