量子力學的教學，有兩種方法。第一種方法是如今大多數物理學家採用的，以歷史發展的順序，先從經典力學講到電動力學，解一大堆微分方程，然後告訴你黑體輻射悖論和那些奇奇怪怪的實驗結果，這些導致了物理學的危機。然後你會學習那些物理學家在1900和2023年之間提出來的各種複雜想法來解救這個危機。幸運的話，經過多年的學習你最終接觸到這個中心概念：世界不是由概率（probabilities）描述的，而是由一些叫做振幅（amplitudes）的數字描述的。概率是非負的，而振幅可正可負，甚至可以是複數。
如今是量子資訊時代，所有物理學家都用這種方法來學習量子力學的話就有點可笑。那些受過高等教育的人只不過記住了這些話：「光具有波粒二象性」，「薛丁格的貓不知是死是活除非你開啟箱子瞧一瞧」，「你可以知道位置（position）或動量（momentum），但是不能兩個都知道」，「乙個粒子知道另乙個粒子的自旋即使距離很遠」 等等。但是我們根本不能理解這些，除非我們痛苦地學習好多年。
第二種教學方法拋棄了量子力學的歷史發展過程，直接跳到其核心概念，也就是乙個允許負號的概率理論。一旦你理解了這個理論，你就能品嚐物理，就能計算任意原子的譜帶。這個第二種方法就是我所採用的。
那麼什麼是量子力學？儘管是由物理學家發現的，量子力學和電磁學及廣義相對論相比，並不是同一類的物理學。從科學的繼承性來看，生物學來自化學，化學來自物理，物理來自數學，而量子力學位於物理和數學之間。量子力學就像是個作業系統，而其他物理理論就像是計算機應用程式（除了廣義相對論沒能相容這個系統）。甚至可以用乙個詞來形容把乙個物理理論安裝到這個作業系統上：「量子化」。
如果量子力學不是關於一般的物理概念（物質，能量，波，粒子），那麼它是關於什麼的？在我看來，量子力學是關於資訊，概率，觀察以及它們之間的聯絡的理論。
我的觀點是，如果你研究概率論，那麼最後肯定會觸及量子力學。所以我們不如把概率這個概念擴大化，讓概率也可以取負數。如果早這麼做的話，19世紀的數學家就可以發明量子力學了，根本就不需要實驗。
scott: 在我看來，這說明了實驗的重要性。很多時候我們做實驗是因為我們不夠聰明，必須通過分析實驗結果來提出理論。什麼是擁有負數概念的「概率論」？ 我們從來沒有聽說過天氣預報說明天有-20％的可能性下雨，這是有悖常理的。先不管這些，讓我們抽象地想想乙個事件，擁有n個可能的結果。我們可以將這個事件用乙個向量來表示。這個向量由n個實數構成：在這節課上，我將不做任何實驗，來向你展示為什麼當你希望這個宇宙有普遍的屬性時，你必須從這三個中選：（1）確定性，（2）經典概率論，（3）量子力學。
(p1,...., pn)數學上我們會如何描述這個向量？ 我們會說，這些概率應該是非負的，而且它們加起來等於1。後一條我們可以這樣表示：概率向量的 1-norm 必須是1。（1-norm 指的是每個元的絕對值加和。）
但是 1-norm 並不是這個世界上唯一的 norm ，它並不是定義向量「大小」的唯一方式。還有另外的方式來定義，比如說 2-norm， 又叫 euclidean norm (歐幾里德範數）。歐幾里德範數指的是向量元平方和的開平方值。
如何概率論是基於 2-norm 而不是 1-norm，那麼量子力學就是其結果。
讓我們來考慮乙個位元。在概率論裡，我們描述乙個位元是 0 的可能性是 p，那麼是 1 的可能性就是 1-p 。如果我們把 1-norm 變為 2-norm， 那麼就不需要要求這兩個數字加起來是1，而是要求它們的平方和是1。（假設這裡討論的數字還是實數。）換句話說，我們需要的是這樣乙個向量 (α,β)， 滿足 α^2 + β^2 = 1 （有誰知道markdown如何插入公式？）。 這樣的向量組會形成乙個圓：
我們的理論必須的和觀察有關, 假設有乙個位元可以用這個向量(α,β)來描述，那麼我們得說明當我們去
看這個位元的時候會發生什麼。既然它是乙個位元，我們應該看到0或者1！而且看到0的機率和看到1的機率加起來應該是1。那麼對於這個(α,β)向量，我們該如何得到兩個加起來等於1的數字？很簡單，我們可以讓 α^2 作為結果是0的概率，讓 β^2 作為結果是1的概率。
那麼在這個情況下，我們可以不拋棄 α 和 β，直接用概率來描述這個位元？啊....關鍵的差別在於當我們把乙個運算元作用在向量上面時向量的變化（這個過程稱為operation）。在概率論裡，如果乙個位元用向量(p,1-p)來表示，那麼我們可以用乙個隨機矩陣（stochastic matrix）來表示任何對於向量的操作（operation）。
隨機矩陣：乙個矩陣由非負實數構成，每一列加起來和為1。
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